WEEK12 周记 作业——动态规划_必做题3

一、题意

1.简述

东东每个学期都会去寝室接受扫楼的任务，并清点每个寝室的人数。
每个寝室里面有ai个人(1<=i<=n)。从第i到第j个宿舍一共有sum(i,j)=a[i]+…+a[j]个人
这让宿管阿姨非常开心，并且让东东扫楼m次，每一次数第i到第j个宿舍sum(i,j)
问题是要找到sum(i1, j1) + … + sum(im,jm)的最大值。且ix <= iy <=jx和ix <= jy <=jx的情况是不被允许的。也就是说m段都不能相交。
注：1 ≤ i ≤ n ≤ 1e6 , -32768 ≤ ai ≤ 32767 人数可以为负数。。。。(1<=n<=1000000)

2.输入格式

输入m，输入n。后面跟着输入n个ai 处理到 EOF（也即多组数据）

3.输出格式

输出最大和

4.样例

Input

1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3

Output

6
8

Hint

数据量很大，需要scanf读入和dp处理。

二、算法

主要思路

首先确定状态的定义：$f[i][j]$表示前$i$个元素中选择了$j$个区间进行了扫楼，同时必须扫了第$i$个元素，得到的最大的数值。
状态转移方程如下：f[i][j]=max{f[i−1][j]+a[i],f[k][j−1]+a[i]}       j−1≤k≤i−1f[i][j]=max\{f[i-1][j]+a[i],f[k][j-1]+a[i] \} \ \ \ \ \ \ \ j-1\le k\le i-1f[i][j]=max{f[i−1][j]+a[i],f[k][j−1]+a[i]}       j−1≤k≤i−1$f[i-1][j]+a[i]$表示在取第i-1个数的基础上，在最后一个区间上加上第$i$个数，所以并没有增加新的区间，区间个数还是$j$。$f[k][j-1]+a[i]$表示已经有了$j-1$个区间，第$i$个数的加入产生了一个新的区间，而且并不能保证第$j-1$个区间的最后一个元素一定跟元素$i$挨着。所以根据这个思路，$k$应该从$j-1$到$i-1$取值。

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化简

时间复杂度不能降低，但是能够降低空间复杂度，将$2$维数组降为$1$维。
观察状态转移方程可以发现，假设外层每一层循环确定的是几个区间，也就是第$2$维，那么实际上每一层的$f$数组只需要本层前面的一个数据（$f[i-1][j]$）和上一层的数据（$f[k][j-1]$），而由于我们求的是最大值，那我们可以另外设置一个最大值数组，记录从头（每一层可能的最小的元素）到第i个元素，哪个$f[k]$最大，这个也可以用一个$1$维数组表示，随着一层的遍历，该数组得到更新，然后下一层会用到这个数组。这里的最大值数组用来代替状态方程中的$f[k][j-1]$部分。这样，我们在求$f[i][j]$时就能够只使用本层的$1$个数据$f[i-1][j]$，而且如果我们按照从左往右的顺序遍历一层，那么求$f[i][j]$（化到一维也就是$f[i]$）时$f[i][j]$（化到一维也就是$f[i-1]$）就已经准备好了。而$f[k][j-1]$直接利用上层更新好的最大值数据，这样也不用再去遍历一遍求最大值了，相当于降低了时间复杂度。

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结果

求出最后一层，也就是含有m个区间的情况之后，这个时候并不是$f[n][m]$是最终答案，因为最终答案可能并不包含第$n$个元素，所以应该从第$m$个元素到第$n$个元素遍历f数组，取最大值。

三、代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1000010;
int f[maxn];
int maxf[maxn];
int a[maxn];
int m,n;
int main(){
	while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF){
		
		for(int i=0;i<=n;i++){
			f[i] = 0;maxf[i] = 0;
		}
		
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
		}
	
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int i=j;i<=n;i++){
				int ma = f[i-1] + a[i];
				int mb = maxf[i-1] + a[i];
				f[i] = ma>mb?ma:mb;
				
				if(i==j||i==j+1){
					maxf[i-1] = f[i-1];
				}
				else maxf[i-1] = maxf[i-2]>f[i-1]?maxf[i-2]:f[i-1];
			}
		}
		
		int mmax = -1e9;  //-maxn竟然不行，这是因为，如果所有的都是负数，那就很有可能会超过-1000010 
		for(int i=m;i<=n;i++){
			mmax = mmax>f[i]?mmax:f[i];
		}
		printf("%d\n",mmax);	
	}
	cout<<-maxn<<endl;; 
	return 0;
} 
/*
1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3
*/