RLWE同态加密编码打包——系数打包

RLWE同态加密的明文域

RLWE的加密方案，如BGV、BFV，加密的对象，实际上是分圆多项式环上的一个整系数多项式。而我们在平时接触到的需要加密的数据，如图像或者工资，通常是一个数。所以，在使用RLWE同态加密时，需要将数转化为多项式，这就是同态加密的明文编码，或者叫做明文的打包。

打包并不是说将数直接映射到多项式就可以了，我们需要保持打包的同态性质，这样才能使得同态运算的结果保持真正的同态性质。本文主要介绍更适用于加密同态加密的打包方法，系数打包。也就是将剩余环${\mathbb{Z}}_T$中的元素映射到多项式环${\mathbb{Z}}_T[x]/(x^N+1)$上。

单系数打包

最朴素的思想就是，一个数对应于一个多项式。设需要加密的数为$a$, 则，我们可以用$a$构造一个多项式，使得打包是加法同态的。

1. 将$a$作为多项式的一个系数，其他的系数随机生成。
2. 将$a$切分到多个系数，剩余的系数使用随机数。

方法1

固定位置$i$，构造的明文多项式的第$i$个系数等于需要打包的明文$a$。

则$$P=p_0+p_{1}x+p_2{x}^2+\cdots +p_i{x}^i+\cdots +p_{N-1}{x}^{N-1}$$,其中$p_i=a$.

接下来我们证明这种打包是加法同态的。
假设明文 b b