18、椭圆曲线密码系统全解析

椭圆曲线密码系统全解析

椭圆曲线密码系统基础

椭圆曲线密码系统主要基于椭圆曲线离散对数问题。简单来说，如果恰当选择各种参数，已知一个点 (P) 是由标量 - 点积 (kG) 计算得出（其中 (G) 是椭圆曲线的生成元，也称为基点），在没有额外信息的情况下，即使知道 (G)，也极难确定整数 (k) 的值。

一个椭圆曲线密码系统通常由以下几个参数确定：
- 常数 (a) 和 (b)。
- 基点 (G=(x_G, y_G))。
- 若域为 (GF(p))，则有 (p)。
- 若域为 (GF(2^m))，则有 (m)。
- 若域为 (GF(2^m))，还有不可约多项式 (r)。
- 椭圆曲线 (E) 的阶 (N)，即 (E) 上的点数。
- 基点 (G) 的阶 (n)，即满足 (nG = \varnothing) 的最小正整数 (n)。
- (h = N/n)，该值应较小，理想情况下等于 1。

美国国家标准与技术研究院（NIST）发布的标准给出了具体示例：
| 域类型 | 曲线方程 | 参数详情 |
| ---- | ---- | ---- |
| 素域 (GF(p)) | (y^2 = x^3 + ax + b) | 规定了 5 条曲线，(p) 的比特长度为 80、224、256、384 和 521，(a = -3) 简化了雅可比坐标下的加法运算。 |
| 二元域 (GF(2^m)) | (y^2 + xy = x^3 + ax^2 + b) | 规定了 10 条曲线，(m) 的值为 163、233、283、409 和 571，(a = 0) 或 (a = 1)，结合