17、椭圆曲线基础：从代数解释到坐标变换

椭圆曲线基础：从代数解释到坐标变换

1. 点加法和乘法的代数解释

在椭圆曲线的研究中，点加法和乘法的代数解释对应着之前的几何解释，并且为点运算的实现提供了基本推导。这里使用普通算术运算来表示，“+” 既可以表示点加法，也可以表示普通加法；“∗”（或 “×”、“·” 或直接并列）根据上下文表示普通乘法或点乘法。

1.1 特殊情况

对于涉及无穷远点 ∅ 作为操作数或结果的两种特殊情况，无需额外细节：
- 对于任意点 P，有 (P + (-P) = ∅)
- (P + ∅ = ∅ + P = P)

1.2 一般情况

曲线 (y^2 = x^3 + ax + b)

• 点加法（(P \neq \pm Q)） ：
  • 过点 (P = (x_P, y_P)) 和 (Q = (x_Q, y_Q)) 的直线斜率为 (\lambda = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P})
  • 直线与曲线的交点为 ((x_R, -y_R))，其中 (x_R = \lambda^2 - x_P - x_Q)，(y_R = \lambda(x_P - x_R) - y_P)
• 点加倍 ：
  • 对曲线方程求导可得 (\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + a}{2y})，代入 (x = x_P) 和 (y = y_P) 得到 (\lambda = \frac{3x_P^2 + a