15、抽象代数中的数学基础：群、域与多项式算术

抽象代数中的数学基础：群、域与多项式算术

在数学领域中，除了我们熟悉的整数和实数上的普通算术运算，还有许多其他数学结构也可以定义类似的运算。本文将深入探讨抽象代数中的两个重要概念——群和域，以及多项式算术，这些知识在密码学中具有至关重要的应用。

1. 群和域

1.1 群

群是一个由集合 (S) 和二元运算 (\circ) 组成的对 ((S, \circ))，需满足以下条件：
- 对于集合 (S) 中的任意元素 (x) 和 (y)，(x \circ y) 也属于 (S)。
- 对于集合 (S) 中的任意元素 (x)、(y) 和 (z)，(x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z)。
- 集合 (S) 中存在一个单位元素 (e)，使得对于集合 (S) 中的任意元素 (x)，都有 (x \circ e = e \circ x = x)。
- 对于集合 (S) 中的任意元素 (x)，都存在一个元素 (y)（称为 (x) 的逆元素），使得 (x \circ y = y \circ x = e)。

群的单位元素和每个元素的逆元素都是唯一的。根据运算的性质，群可以分为加法群和乘法群。在加法群中，通常用 (0) 表示单位元素，用 (-x) 表示元素 (x) 的逆元素；在乘法群中，通常用 (1) 表示单位元素，用 (x^{-1}) 表示元素 (x) 的逆元素。

以下是一些群的例子：
| 群的类型 | 集合 (S) | 运算 (\circ) | 单位元素 (e) | 逆元素 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |