14、密码学中的模运算：指数、求逆与除法

密码学中的模运算：指数、求逆与除法

在密码学的世界里，模运算扮演着至关重要的角色，特别是模指数运算、模逆运算和模除法。这些运算不仅是密码算法的基础，而且在处理大整数时，高效的算法和架构设计显得尤为关键。本文将深入探讨这些运算的原理、算法和实际应用。

1. 模指数运算

模指数运算是计算 (y = x^e \mod m) 的过程。对于较小的数，可以先计算 (x^e)，再进行模约简，但对于密码学中常见的大整数，这种方法会导致中间结果过大，不切实际。因此，需要采用更高效的算法。

1.1 普通指数计算

最简单的计算 (y = x^e) 的方法是逐次乘法，即从 (y = x) 开始，乘以 (e - 1) 次 (x)，这需要 (e - 1) 次乘法。而更高效的方法是平方 - 乘法算法，最多需要 (\lceil\log_2 e\rceil) 次乘法和相同数量的平方运算。

假设 (e) 的二进制表示为 (e_{n - 1} \cdots e_3 e_2 e_1 e_0)，其中 (e_i = 0) 或 (e_i = 1)，则 (e = \sum_{i = 0}^{n - 1} e_i 2^i)，那么 (x^e) 可以表示为：
[x^e = x^{e_{n - 1} 2^{n - 1} + \cdots + e_3 2^3 + e_2 2^2 + e_1 2^1 + e_0 2^0} = (x^{2^{n - 1}})^{e_{n - 1}} \cdots (x^8)^{e_3} (x^4)^{e_2} (x^2)^{e_1} (x)^{e_0}]

1.1.1 从右到左的平方 - 乘法算法

该算法的步骤如