12、模加法与乘法的原理及算法解析

模加法与乘法的原理及算法解析

1. 模加法相关内容

在模运算中，对于模为 (2^n + 1) 的减量 - 1 加法，其硬件实现比通用模加法器更快且成本更低。然而，总体而言，减量 - 1 表示法及其算术运算的实际价值存疑。这是因为在该表示法与其他表示法之间进行转换时，需要进行全进位传播的加法和减法操作。只有当需要进行大量计算，并且中间操作数保持相同形式，从而能够分摊转换的“一次性”成本时，这种转换才是值得的。但这种情况并不常见，所以尽管对其进行了大量研究，减量 - 1 表示法在实际应用中却很少被使用。因此，在加法运算的讨论中，我们不再进一步考虑这种表示法。

由此我们可以得出结论，专门为模 (2^n + 1) 设计加法单元可能价值不大。不过，在某些特定情况下，模 ((2^n + 1)) 乘法可能是个例外，后续会对此进行讨论。

2. 模减法

给定 (x) 和 (y)，满足 (0 \leq x, y < m)，根据余数减法的定义，计算 ((x - y) \bmod m) 可以先计算 (y) 的加法逆元（即 (m - y)），然后再加上 (x)（模 (m)）。这种方法需要进行三次加法运算：一次计算 (m - y)，一次加上 (x)，还有一次（减法）用于修正超过模的初始结果。

一种更好的方法是按照以下公式计算：
((x - y) \bmod m = \begin{cases} x - y, & \text{if } x - y \geq 0 \ x - y + m, & \text{otherwise} \end{cases})

这个公式与之前的公式类似，但算术运算相反。区分两种情况的条件也有所改