CF1985G D-Function 题解

day11 数位 dp 总结

数位 dp 的定义：所谓数位 dp 也就是根据一个数的每一位来做动态规划，而数位 dp 的题目不会像有些题目，需要你来仔细看需要用到什么算法，而数位 dp 的特点很显著。第一，一般情况下肯定是要往数字每一位数上去考虑的，第二，也就是数据范围，好一点的，可能 $n\le 10^9$ 或者 $n\le 10^{18}$，狠一点的直接干到 $n\le 10^{2000}$，这样就更加明显了，不可往数字的大小上看，必定得往数字的各个位数上考虑。

例题：

P2657 [SCOI2009] windy 数

题目大致意思：

不含前导零且相邻两个数字之差至少为 $2$​ 的正整数被称为 windy 数。windy 想知道，在 $a$​ 和 $b$​ 之间，包括 $a$​ 和 $b$​ ，总共有多少个 windy 数？

题目大致思路：

这道题目很显然数位 dp，毕竟学的就是数位 dp，再接着我们可以想到一个很显然的结论，用数位 dp 处理区间 $[l,r]$ 的区间不好处理，那么我们可以计算出 $[0,l-1]$ 的区间和 $[0,r]$ 的区间，凭感性理解一下就会得知，答案就是区间到 $r$ 的答案减去区间到 $l-1$ 的答案。

接下来就是数位 dp 部分，我使用记忆化搜索的方法来写，当然也可以用递推的方法，我的 dfs 流程如下：

• 设 $d{p}_{i,j}$ 表示数位个数为 $i$，前一位数为 $j$ 时，windy 数的个数。

• 用 $4$ 个参数 $now,last,lazy,f$ 来记录，分别表示当前数位个数，上一位数字，是否有前导 $0$，以及最高位是否有限制。

• 首先，我们设定边界，当位数超过，我们当前边界的数位时，显然返回 $1$。

• 最高位无限制时，且当前点被记录过，直接可以返回答案，这也就是记忆化。

• 初始化遍历范围，因为如果最高位有限制，那么我们要找到它最多能遍历到哪里，没有限制显然能够遍历到 $9$。

• 遍历，$last-i<2$ 也就是数位不满足条件，continue 跳过本次循环，这里及以下的 $i$ 表示遍历的数字。

• 有前导 $0$，那么就 $lazy$ 一直为 $1$，继续往下搜，加入答案。

• 无前导 $0$，那么 $lazy$ 可以变成 $0$，$last$ 也就可以变成当前遍历的数字 <