DP浅谈

$DP$浅谈

• 由于窝太菜了，只好写这篇浅谈来聊以自慰。

那么我们从最简单的$DP$入门开始吧

【一】基础$DP$

$(I)lis$一个最基础的$DP$入门题。

• 状态：$f_i$表示到$i$的$lis$长度

• 转移：$f_i=\max (f_j+1)(a_j\le a_i)$

• 答案统计： $\max f_i$

• 因为我们在更新$i$时要找到最大的$f_j$来更新答案使得答案最优。这样的复杂度是$O(n^2)$

• 但是我们可以在$O(n\log n)$的时间内完成，此时可以用树状数组来维护。这里来讲一下用树状数组来维护。此时只要利用简单的区间求最值以及区间加就能完成。

• AT2827 LIS例题

• 随便再来几道线性$DP$：

$(1)$ 例题一：CF711C

• 这算是一道比较简单的$DP$题

  $f_{i,j,k}$表示表示前i颗树已经分成k组，第i颗树的颜色是j的情况花费的最小费用。

  转移也很简单（就是思考这个状态可以由哪些状态转移过来就行了）

  当$a_i$确定的时候：

  $f_{i,a_i,k}=max(f_{i,a_i,k},f_{i-1,j,k-1})(j!=a[i])$

  $f_{i,a_i,k}=max(f_{i,a_i,k},f_{i-1,j,k})(j==a[i])$

  当$a_i$不确定的时候：

  $f_{i,j,k}=max(f_{i,j,k},f_{i-1,h,k-1}+w_{i,j})(j!=h)$

  $f_{i,j,k}=max(f_{i,j,k},f_{i-1,h,k}+w_{i,j})(j==h)$

  这种题目只要把所有转移考虑全面就很简单了。

  参考代码

$(2)$ 例题二：CF706C

$(3)$ 例题三：CF404D

【二】$DP$的优化

• 由于蒟蒻比较菜不知道什么神仙优化方法，就写几种基础的就好了。

$(I)$ 单调队列优化$DP$

• 其实单调队列就是一种队列内的元素有单调性（单调递增或者单调递减）的队列，答案（也就是最优解）就存在队首，而队尾则是最后进队的元素。因为其单调性所以经常会被用来维护区间最值或者降低DP的维数已达到降维来减少空间及时间的目的。（引 出处）

• 我们一边看例题一边来理解他的妙处所在。

例题一：P6040

• 对于暴力：

  设$f_i$表示到$i$的最小花费精力，转移 $O(n^2)$即可

  转移也很简单，没什么可以讲的：

  f i = m i n { f j + ( i − j − 1 ) ∗ d + k + a i } , j ∈ [ i − x , i − 1 ) f_i=min\{f_j+(i-j-1)*d+k+a_i\},j∈[i-x,i-1) fi​=min{fj​+(i−j−1)∗d+k+ai​},j∈[i−x,i−1)

• 现在我们就要使用单调队列来优化

  对于上述柿子我们可以进行移项合并得到： f i = a i + k + ( i − 1 ) ∗ d + m i n { f j − j ∗ d } f_i=a_i+k+(i-1)*d+min\{f_j-j*d\} fi​=ai​+k+(i−1)∗d+min{fj​−j∗d}

  到这里我们想到用单调队列去维护$f_j-j\ast d$单减即可。

  对于每次距离的限制用对头来控制，如果$i-q[head]>X$那么要更新队头（可以认为队头是来控制区间范围的），对于$DP$值的更新要用到队尾，即当$f[q[tail]]-q[tail]\ast D>=f[i]-i\ast D$时要更新队尾来保证队内元素单调递减。这样我们就很好地维护了一个单调队列。

• 参考代码

$(2)$ 例题二：P2569

$(2^{{}^{\prime }})$我写的题解（可参考）

$(3)$ 例题三：CF372C

$(II)$ 线段树优化$DP$

• 注：由于窝比较菜，只会一些很套路的，巨佬请让步。

• 以下是我的个人观点：因为线段树可以维护一些区间加，区间$\min or\max$。。而$DP$不是有时也是寻找从哪里转移过来时候，为了最优，可以使用线段树。或者只是对$DP$方程式中的一部分进行快速查询与记录。一般可以把$n^2$变成$n\log n$。 话不多说，还是来看几道例题。

例题一：CF629D

• 对于暴力

  暴力$DP$很简单设$f_i$表示到第$i$块蛋糕最大体积

  转移也很显然：$f_i=\max f_j+V_i(j\le i,a_j<a_i)$

• 我们考虑用线段树优化，不是很明显就是用线段树去找到最大的$f_j$来转移，那么不是只要维护一个区间最大以及区间修改就行了。每次更新完$f_i$，把$[1,i{d}_i]$用$f_i$来更新。我是用树状数组的，常数稍微小一点。

• 参考代码

例题二：CF115E

• 这道题目相对上面那题难一点。

• 对于暴力$f_i$表示只考虑修前$i$条路的最大收益，转移非常显然：$ f_i=\max(f_j+P(j+1,i)-A(j+1,i))$，其中$P(i,j)$表示这个区间的收益，$A(i,j)$表示这个区间的修理费。

• 我们还是来考虑线段树优化。首先要保证无后效性，我们按右端点排序，然后从$1$到$n$修路，每个点的左边区间减去修理费，遇到比赛的右端点，在左区间加上收益，反复更新即可。这些区间更新修改操作都可以用线段树实现。

• 参考代码

$(3)$ 例题三：CF833B

$(4)$ 例题四：CF1304F2（虽然本人就做了F1）

$(III)$长链剖分优化$DP$

• 由于没有怎么学习这里先咕咕咕。。

【三】进阶$DP$

• 再次申明：由于博主比较菜只会写众所周知的进阶$DP$

$(I)$状压$DP$

• 一下是我的个人看法：状压$DP$就是对于$(n\le 20)$但爆搜又无法完成时使用的~~（是不是非常有道理）~~。认真些，其实状压$DP$就是把某些状态用二进制来存（$1$表示出现过,$0$则相反）。

• 但是在学习状压$DP$之前先要比较熟悉位运算状压之位运算

• 我们还是拿几道题目来看看吧。

例题一：CF115E

• 对于暴力很简单，不再赘述。

• 我们首先要知道$b_i\in [1,59]$为什么是$59$呢。我们可以得到$b_i$只会在$60$以内，所以会出现的数字只有$1$和$60$以内的质数。而对于$59$来说，完全可以用$1$代替，所以现在会出现的数字被缩减为$17$个了。应该讲得比较清楚。这样我们对于每个质数进行二进制表示来实现状压。

  于是我们设$f_{i,s}$表示与$a_i$匹配到$i$时的质数集状态为$s$的$\sum a_i-b_i$的最小值。再用$g_{i,s}$来记录路径，这样就随意转移即可。

  大概为$f_{i+1,s|st{a}_k}=\max (f_{i+1,s|st{a}_k},f_{i,s}+abs(a_i-k))$，其中$k$为$[1,59]$的质数枚举，$st{a}_k$为对每个质数存下的状态。$g_{i,s}$随$f_{i,s}$的更新一起更新即可。输出方案时候我们只要不停回溯最终状态即可，即$\oplus nowsta$。

• 参考程序

例题二：CF1316E

• 一道刚刚的$codeforces$的比赛题，挺好的。

• 有数据范围$(p\le 7)$可得此题为状压$DP$。

  我们首先建个结构体，然后对观众的收益进行排序，再做$DP$。

  我们设$f_{i,s}$表示到第$i$个人时候，$p$个位置的状态为$s$时候的最大收益。

  转移比较容易

  $(1)$ 若不能再选观众了：$f_{i,s}=\max (f_{i-1,sxor(1<<j-1)+a_{i,j},f_{i,s})}$

  $(2)$还能选：$f_{i,s}=\max (f_{i,s},f_{i-1,s}+v_i)$

• 参考代码

$(3)$ 例题三：CF8C（要加个奇妙的剪枝）

$(4)$ 例题四：CF580D（比较简单）

$(II)$ 树形$DP$

• 树形$DP$顾名思义就是在一棵树上面做$DP$，是不是很简单啊。他有着和普通$DP$一样的分类（比如背包）。转移相对线性比较难理解，所以还是需要好好理解一下的。那么我们先来看几道题目吧。

$(i)$树上背包

• 树上背包就是把背包做到树上就好了，与线性$DP$套路相似。

例题一：P2014 [CTSC1997]选课

• 这是一道非常经典的题目，首先我们设$f_{i,j}$表示选择以$i$为根的子树中$j$个节点的最大收益。

• 然后就是分组背包的转移了：$f_{u,j}=\max (f_{u,j},f_{v,k}+f_{u,j-k})(v\in S_u,k\le j)$

• 答案$f_{1,m}$(这边我把根变成$1$而不是题目里的$0$)

• 参考代码

例题二：P2515 [HAOI2010]软件安装

• 这道题目是一道综合应用题，需要用到$tarjan$缩点。

• 我们先按照某些依赖关系去连边，然后把相互依赖的一些软件进行缩点。缩完点后，再建一遍图。（以上是$tarjan$部分）由于建立出来的是一棵树，我们建立一个虚拟点$rt$以虚拟节点作为根。那么我们就可以在上面进行$DP$啦，下面就与例题一同理了。

• 状态：设$f_{i,j}$为以$i$号点为根的子树中用不超过$j$的空间的最大价值。

• 转移：$f[u][i+w[u]]=max(f[u][i+w[u]],f[u][i+w[u]-j]+f[v][j])$

• 答案就是:$f_{rt,m}$

• 参考代码

$(ii)$ 一般树形$DP$

• 做了几道这样的题目发现其实从$u$转移到$v$其实就是$siz,dep$之间的转移变化，如果无法理解这句话，我们开看一道题目。

例题一：P2986 Great Cow Gathering G

• 这是一道必做题，初学的都要做

• 我们设$f_v$表示以$v$为牛棚的花费，只要有$f{a}_v$转移过来即可。对于转移画几个图随便想想就可以得到。

• 转移: $f_v=f_u-si{z}_v\times w+(tot-si{z}_v)\times w$
  应该比较好理解，就是父亲向儿子走了一步，那么父亲与儿子的连边产生的贡献即$si{z}_v\times w+(tot-si{z}_v)\times w$。还是很显然的。

• 参考代码

$...$ 准备填坑