OI常用奥数基础

等差数列

这里说若数列$a_i=a_{i-1}+d$，则称数列a为一个等差数列。
则$a_n=a_1+(n-1)d$

那么设等差数列的前缀和为s，则$s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

证明不难。

平方数求和公式

$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

立方数求和公式

$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$

更高次方数求和较复杂。

有一个公式是：
$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^k=\frac{\stackrel{k+1}{\sum _{i=1}}(-1{)}^{{\delta }_{ik}}\left(\begin{array}{c}k+1\\ i\end{array}\right)B_{k+1-i}{n}^i}{k+1}$
但是在OI范围内好像不常用。

比较容易见到的做法是斯特林反演/拉格朗日插值：
$\stackrel{n}{\sum _{i=0}}{i}^x=\stackrel{n}{\sum _{i=0}}\stackrel{x}{\sum _{j=0}}\left\{\begin{array}{c}x\\ j\end{array}\right\}\left(\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right)j!=\stackrel{x}{\sum _{j=0}}\left\{\begin{array}{c}x\\ j\end{array}\right\}j!\stackrel{n}{\sum _{i=0}}\left(\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right)$

最后一个式子是朱世杰恒等式。

$=\stackrel{x}{\sum _{j=0}}\left\{\begin{array}{c}x\\ j\end{array}\right\}j!\left(\begin{array}{c}n+1\\ j+1\end{array}\right)$

然后就做完了。

等比数列

这里说若数列$a_i=a_{i-1}\ast q$，则称数列a为一个等比数列。

那么设等比数列的前缀和为s，则$s_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$

证明不难。

k次方和公式

容易证明有$a^k\pm b^k=(a\pm b)\stackrel{k-1}{\sum _{i=0}}(\mp 1{)}^i{a}^i{b}^{k-1-i}$

后记

于是皆大欢喜。