凸优化第七章统计估计 7.5实验设计

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于 2019-02-16 21:29:58 发布 · 554 阅读

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本文探讨了实验设计问题在统计估计中的应用，重点介绍了松弛实验设计问题以及三种最优设计策略：D-最优设计、E-最优设计和A-最优设计。D-最优设计关注最小化误差协方差矩阵的绝对值，E-最优设计旨在最小化最大特征值，而A-最优设计则与误差协方差矩阵的迹最小化相关。这些设计策略帮助优化实验以获得更精确的统计估计。

7.5实验设计

松弛实验设计问题
标量化

考虑通过测量或实验： $y_i=a_i^Tx+w_i,i=1,\cdots m$ 估计向量 $x \in R^n$ 的问题，其中 $w_i$ 是测量噪声。假设 $w_i$ 是独立同分布的高斯噪声，均值为0，方差为1。

于是x的最大似然估计，也是最小方差估计：

$minimize \, \,\sum_{i=1}^m (y_i-a_i^Tx)^2=\sum_{i=1}^m(x^Ta_ia_i^Tx-2y_ia_i^Tx+y_i^2)$

目标函数对x求偏导，得到：

$2\sum_{i=1}^m(a_ia_i^T)x2\sum_{i=1}^ma_iy_i^Tx=2\sum_{i=1}^m(a_ia_i^T)x-2\sum_{i=1}^ma_iy_ix2\\ =\sum_{i=1}^m(a_ia_i^T)x-2\sum_{i=1}^my_ia_ix$

令其为0，解得 $x=(\sum_{i=1}^ma_ia_i^T)^{-1}\sum_{i=1}^my_ia_i$ ，故极大似然估计的解为： $\hat{x}=(\sum_{i=1}^ma_ia_i^T)^{-1}\sum_{i=1}^my_ia_i$ 相应的估计误差：

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