凸优化第四章凸优化问题 4.3线性规划问题

最新推荐文章于 2025-11-20 11:02:59 发布

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本文深入探讨了线性规划问题，包括其定义、例子和线性分式规划。线性规划是凸优化问题，其目标函数和约束均为仿射函数，形成的可行集是一个多面体。文中以食谱问题为例，展示了线性规划的实际应用，并讨论了如何通过上境图形式转换为等价的线性规划问题。此外，还介绍了线性分式规划及其与等价线性规划的关系。

4.3线性规划问题

例子
线性分式规划

线性规划

目标函数和约束函数都是仿射函数，问题则称为线性规划。一般的线性规划形式:

$minimize\, \, c^Tx+d\\ subject\, \, to\, \, \begin{matrix} Gx\preceq h\\ Ax=b \end{matrix}$

其中 $G\in R^{m\times n},A\in R^{p\times n}$ ，显然线性规划问题是凸优化问题。

因为不等式约束函数和等式约束函数都是仿射函数，所以可行集是一个多面体。

所以也就是相等于在多面体中找一个 $x^*$ 使得 $c^Tx+d$ 最小，即找一个最大的 $-c^Tx$ 。

例子

食谱问题

$x_1,x_2,\cdots x_n$ 表示n种食物的量，一份健康的饮食包含m种不同的营养，每种至少要 $b_1,b_2,\cdots b_m$ ，单

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