凸优化第四章凸优化问题 4.1优化问题

最新推荐文章于 2025-09-29 11:21:11 发布

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本文详细介绍了凸优化问题的基本概念，包括优化变量、目标函数、约束函数，以及无约束和有约束问题的理解。同时，讨论了最优点和局部最优点的区别，并举例说明。此外，还阐述了minimize与min的区别，以及问题的标准表示形式和等价问题的概念，如变量变换、目标函数与约束函数变换和消除等式约束的方法。

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4.1优化问题

基本术语
问题的标准表示
等价问题
参数与谕示问题描述

基本术语

$minimize\, \, f_0(x) \\ subject\, \, to\, \, \begin{matrix} f_i(x)\leq 0& i=1,\cdots m \\ h_i(x)=0&i=1,\cdots p \end{matrix}$

$x \in R^n$ 是优化变量也叫决策变量。

$f_0:R^n \rightarrow R$ 为目标函数，或者费用函数。

$f_i:R^n \rightarrow R,i=1,\cdots m$ 是不等式约束函数。

$h_i:R^n \rightarrow R$ 是等式约束函数。

如果m=p=0，即没有约束，此时问题为无约束问题。

在实际生活中可以这样理解该优化问题，即我们要生产产品，其数量为x，要确定生产数量以使得费用最低，而约束函数则可以理解为在实际产生中受到的限制比如资源消耗等。

问题的定义域： $D=(\bigcap dom(f_i))\cap (\bigcap dom(h_i))$

可行点： $x \in D,f_i(x)\leq 0,i=1,\cdots m,h_i(x)=0,i=1,\cdots p$ ，此时x是可行的，x为可行点。

可行集：所以有可行点的集合。

问题的最优值 $p^*=inf \left\{ f_0(x)|f_i(x)\leq 0,i=1,\cdots m,h_i(x)=0,i=1,\cdots p\right \}$

如果问题不可行，

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