1846：【06NOIP提高组】2^k进制数

2k进制数r的个数计算,

最新推荐文章于 2025-12-07 21:20:15 发布

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#算法

文章讲述了如何计算在给定k和w的情况下，满足特定条件（如至少2位且每位小于右侧，转换为2进制数q不超过w位）的2k进制数r的数量。示例和代码给出了求解方法。

【题目描述】

设r是个2k 进制数，并满足以下条件：

（1）r至少是个2位的2k进制数。

（2）作为2k进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。

在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k＜w≤30000）是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的r共有多少个？

我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2k进制数r。

例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：

2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。

3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。

所以，满足要求的r共有36个。

【输入】

只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

k W

【输出】

一行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位)

【输入样例】

3 7

【输出样例】

直接上AC代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cctype>
using namespace std;
const int MAXLEN=2100;
int K,W;
 
int GCD(int a,int b){return b==0?a:GCD(b,a%b);}
 
int a[MAXLEN],b[MAXLEN],ans[MAXLEN];
void C(int n,int m)
{
	if(n<m) return;
	
	for(int i=m;i>=1;i--)//a存分子，b存分母 
		a[i]=n-m+i,b[i]=i;
	
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(b[i]==1) continue;
		for(int j=m;j>=1;j--)//约掉分母 
		{
			int k=GCD(a[j],b[i]);
			b[i]/=k;a[j]/=k;
			if(b[i]==1) break;
		}
	}
	
	memset(b,0,sizeof(b));//0存位数 
	b[0]=b[1]=1;
	int g=0;
	for(int j=1;j<=m;j++)
	{
		g=0;
		if(a[j]==1) continue;
		for(int i=1;i<=b[0];i++)
		{
			b[i]=b[i]*a[j]+g;
			g=b[i]/10; 
			b[i]%=10;
			if(i==b[0]&&g!=0) b[0]++;//进位 
		}
	}
	
	ans[0]=max(ans[0],b[0]);
	for(int i=1;i<=ans[0];i++)
	{
		ans[i]+=b[i];
		ans[i+1]+=ans[i]/10;
		ans[i]%=10;
	}
	
	if(ans[ans[0]+1]!=0) ans[0]++;//进位 
}
 
int main()
{
	scanf("%d%d",&K,&W);
	
	int max_bit=W/K,all_choice=(1<<K)-1,max_firstnum=(1<<W%K)-1;//求各个最大 
	
	for(int i=2;i<=max_bit;i++) 
		C(all_choice,i);//第一种情况 
		
	if(max_firstnum>=1&&all_choice>max_bit)//第二种情况 
		for(int i=1;i<=max_firstnum;i++) 
			C(all_choice-i,max_bit);
			
	for(int i=ans[0];i>=1;i--) printf("%d",ans[i]);
	
	return 0;
}

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