CSP-J 2023答案

1.小苹果（apple）

题目描述

小 Y 的桌子上放着 nn 个苹果从左到右排成一列，编号为从 11 到 nn。

小苞是小 Y 的好朋友，每天她都会从中拿走一些苹果。

每天在拿的时候，小苞都是从左侧第 11 个苹果开始、每隔 22 个苹果拿走 11 个苹果。随后小苞会将剩下的苹果按原先的顺序重新排成一列。

小苞想知道，多少天能拿完所有的苹果，而编号为 nn 的苹果是在第几天被拿走的？

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 nn，表示苹果的总数。

输出格式

输出一行包含两个正整数，两个整数之间由一个空格隔开，分别表示小苞拿走所有苹果所需的天数以及拿走编号为 nn 的苹果是在第几天。

输入输出样例

输入 #1复制

8

输出 #1复制

5 5

说明/提示

【样例 11 解释】

小苞的桌上一共放了 88 个苹果。
小苞第一天拿走了编号为 11、44、77 的苹果。
小苞第二天拿走了编号为 22、66 的苹果。
小苞第三天拿走了编号为 33 的苹果。
小苞第四天拿走了编号为 55 的苹果。
小苞第五天拿走了编号为 88 的苹果。

【样例 22】

见选手目录下的 apple/apple2.in 与 apple/apple2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据有：1\leq n\leq 10^91≤n≤109。

测试点	n\leqn≤	特殊性质
1\sim 21∼2	1010	无
3\sim 53∼5	10^3103	无
6\sim 76∼7	10^6106	有
8\sim 98∼9	10^6106	无
1010	10^9109	无

特殊性质：小苞第一天就取走编号为 nn 的苹果。

附件下载

apple.zip418B

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin>>n;
    int k=n,d=0,ans=0;
    while(k>0) {
        if(k%3==1&&ans==0) ans=d+1;
        int t=(k-1)/3+1;
        k=k-t;
        d++;
    }
    cout<<d<<" "<<ans;
    return 0;
}

2.公路（road）

题目描述

小苞准备开着车沿着公路自驾。

公路上一共有 nn 个站点，编号为从 11 到 nn。其中站点 ii 与站点 i + 1i+1 的距离为 v_ivi​ 公里。

公路上每个站点都可以加油，编号为 ii 的站点一升油的价格为 a_iai​ 元，且每个站点只出售整数升的油。

小苞想从站点 11 开车到站点 nn，一开始小苞在站点 11 且车的油箱是空的。已知车的油箱足够大，可以装下任意多的油，且每升油可以让车前进 dd 公里。问小苞从站点 11 开到站点 nn，至少要花多少钱加油？

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 nn 和 dd，分别表示公路上站点的数量和车每升油可以前进的距离。

输入的第二行包含 n - 1n−1 个正整数 v_1, v_2\dots v_{n-1}v1​,v2​…vn−1​，分别表示站点间的距离。

输入的第三行包含 nn 个正整数 a_1, a_2 \dots a_na1​,a2​…an​，分别表示在不同站点加油的价格。

输出格式

输出一行，仅包含一个正整数，表示从站点 11 开到站点 nn，小苞至少要花多少钱加油。

输入输出样例

输入 #1复制

5 4
10 10 10 10
9 8 9 6 5

输出 #1复制

79

说明/提示

【样例 1 解释】

最优方案下：小苞在站点 11 买了 33 升油，在站点 22 购买了 55 升油，在站点 44 购买了 22 升油。

【样例 2】

见选手目录下的 road/road2.in 与 road/road2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据保证：1 \leq n \leq 10^51≤n≤105，1 \leq d \leq 10^51≤d≤105，1 \leq v_i \leq 10^51≤vi​≤105，1 \leq a_i \leq 10^51≤ai​≤105。

测试点	n \leqn≤	特殊性质
1\sim 51∼5	88	无
6\sim 106∼10	10^3103	无
11\sim 1311∼13	10^5105	A
14\sim 1614∼16	10^5105	B
17\sim 2017∼20	10^5105	无

• 特殊性质 A：站点 11 的油价最低。
• 特殊性质 B：对于所有 1 \leq i < n1≤i<n，v_ivi​ 为 dd 的倍数。

附件下载

road.zip3.09KB

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, d, k=0, minn=1e9;
long long cost = 0;
int a[100005] = {0};
int v[100005] = {0};
int main()
{
    cin >> n >> d;
    for (int i=1; i<n; i++) {
        cin >> v[i];
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        minn=min(minn,a[i]);
        if(k>=v[i]){
            k=k-v[i];
            continue;
        }
        cost += 1ll * ceil(1.0 *(v[i]-k)/d) * minn;
        k = 1ll * ceil(1.0 *(v[i]-k)/d)*d - (v[i]-k);
    }	
    cout << cost<<"\n";
    return 0;
}

3.一元二次方程（uqe）

题目背景

众所周知，对一元二次方程 ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0)ax2+bx+c=0,(a=0)，可以用以下方式求实数解：

• 计算 \Delta = b ^ 2 - 4acΔ=b2−4ac，则:
  1. 若 \Delta < 0Δ<0，则该一元二次方程无实数解。
  2. 否则 \Delta \geq 0Δ≥0，此时该一元二次方程有两个实数解 x _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}x1,2​=2a−b±Δ​​。

例如：

• x ^ 2 + x + 1 = 0x2+x+1=0 无实数解，因为 \Delta = 1 ^ 2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0Δ=12−4×1×1=−3<0。
• x ^ 2 - 2x + 1 = 0x2−2x+1=0 有两相等实数解 x _ {1, 2} = 1x1,2​=1。
• x ^ 2 - 3x + 2 = 0x2−3x+2=0 有两互异实数解 x _ 1 = 1, x _ 2 = 2x1​=1,x2​=2。

在题面描述中 aa 和 bb 的最大公因数使用 \gcd(a, b)gcd(a,b) 表示。例如 1212 和 1818 的最大公因数是 66，即 \gcd(12, 18) = 6gcd(12,18)=6。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 a, b, ca,b,c，其中 a, b, ca,b,c 均为整数且 a \neq 0a=0。你需要判断一元二次方程 a x ^ 2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 vv 时须遵循以下规则：

• 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 pp 和 qq，满足 q > 0q>0，\gcd(p, q) = 1gcd(p,q)=1 且 v = \frac pqv=qp​。

• 若 q = 1q=1，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 nn 的值；

• 例如：

  • 当 v = -0.5v=−0.5 时，pp 和 qq 的值分别为 -1−1 和 22，则应输出 -1/2；
  • 当 v = 0v=0 时，pp 和 qq 的值分别为 00 和 11，则应输出 0。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

1. 若 \Delta = b ^ 2 - 4ac < 0Δ=b2−4ac<0，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO；

2. 否则 \Delta \geq 0Δ≥0，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 xx，则：

   1. 若 xx 为有理数，则按有理数的格式输出 xx。

   2. 否则根据上文公式，xx 可以被唯一表示为 x = q _ 1 + q _ 2 \sqrt rx=q1​+q2​r​ 的形式，其中：

      • q _ 1, q _ 2q1​,q2​ 为有理数，且 q _ 2 > 0q2​>0；
      • rr 为正整数且 r > 1r>1，且不存在正整数 d > 1d>1 使 d ^ 2 \mid rd2∣r（即 rr 不应是 d ^ 2d2 的倍数）；

   此时：

   1. 若 q _ 1 \neq 0q1​=0，则按有理数的格式输出 q _ 1q1​，并再输出一个加号 +；
   2. 否则跳过这一步输出；

   随后：

   1. 若 q _ 2 = 1q2​=1，则输出 sqrt({r})；
   2. 否则若 q _ 2q2​ 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})；
   3. 否则若 q _ 3 = \frac 1{q _ 2}q3​=q2​1​ 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}；
   4. 否则可以证明存在唯一整数 c, dc,d 满足 c, d > 1, \gcd(c, d) = 1c,d>1,gcd(c,d)=1 且 q _ 2 = \frac cdq2​=dc​，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}；

   上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。

   如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 T, MT,M，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 TT 行，每行包含三个整数 a, b, ca,b,c。

输出格式

输出 TT 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

输入输出样例

输入 #1复制

9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

输出 #1复制

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

说明/提示

【样例 #2】

见附件中的 uqe/uqe2.in 与 uqe/uqe2.ans。

【数据范围】

对于所有数据有：1 \leq T \leq 50001≤T≤5000，1 \leq M \leq 10 ^ 31≤M≤103，|a|,|b|,|c| \leq M∣a∣,∣b∣,∣c∣≤M，a \neq 0a=0。

测试点编号	M \leqM≤	特殊性质 A	特殊性质 B	特殊性质 C
11	11	是	是	是
22	2020	否	否	否
33	10 ^ 3103	是	否	是
44	10 ^ 3103	是	否	否
55	10 ^ 3103	否	是	是
66	10 ^ 3103	否	是	否
7, 87,8	10 ^ 3103	否	否	是
9, 109,10	10 ^ 3103	否	否	否

其中：

• 特殊性质 A：保证 b = 0b=0；
• 特殊性质 B：保证 c = 0c=0；
• 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

附件下载

uqe.zip29.51KB

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,m,a,b,c;
int gcd(int p,int q){
    int u;
    while(q!=0){
        u=p%q;
        p=q;
        q=u;
    }
    return p;
}
void work1(int p,int q){
    if(p*q<0) cout<<'-';
    if(p<0) p=0-p;
    if(q<0) q=0-q;
    int g=gcd(p,q);
    if(g==q) cout<<p/g;	
    else cout<<p/g<<'/'<<q/g;
    return;
}
void work2(int p,int q){
    if(p<0) p=-p;
    if(q<0) q=-q;
    int u=1;
    for(int i=sqrt(p); i>=2; i--) {
        if(p%(i*i)==0){
            p=p/(i*i);
            u=u*i;
            break;
        }
    }
    int g=gcd(u,q);
    u=u/g;
    q=q/g;
    if(u!=1) cout<<u<<"*";
    if(p!=1) cout<<"sqrt("<<p<<")";
    if(q!=1) cout<<"/"<<q;
}
int main(){
//    freopen("uqe2.in","r",stdin);
//    freopen("uqe2.ans","w",stdout);
    cin>>t>>m;
    while(t--) {
        cin>>a>>b>>c;
        int d=b*b-4*a*c;
        if(d<0){
            cout<<"NO";
        }else{ 
            int q=sqrt(d);
            if(q*q==d) { 
                double ans1=1.0*(-b+q)/(2*a);
                double ans2=1.0*(-b-q)/(2*a);
                if(ans1>ans2) {
                    if(-b+q==0) cout<<0;
                    else work1(-b+q,2*a);
                } else {
                    if(-b-q==0) cout<<0;
                    else work1(-b-q,2*a);
                }
            } else { 
                if(b!=0) work1(-b,2*a);
                if(b!=0) cout<<"+";
                work2(d,2*a);
            }

        }
        cout<<"\n";
    }
    return 0;
}

4.旅游巴士（bus）

题目描述

小 Z 打算在国庆假期期间搭乘旅游巴士去一处他向往已久的景点旅游。

旅游景点的地图共有 nn 处地点，在这些地点之间连有 mm 条道路。其中 11 号地点为景区入口，nn 号地点为景区出口。我们把一天当中景区开门营业的时间记为 00 时刻，则从 00 时刻起，每间隔 kk 单位时间便有一辆旅游巴士到达景区入口，同时有一辆旅游巴士从景区出口驶离景区。

所有道路均只能单向通行。对于每条道路，游客步行通过的用时均为恰好 11 单位时间。

小 Z 希望乘坐旅游巴士到达景区入口，并沿着自己选择的任意路径走到景区出口，再乘坐旅游巴士离开，这意味着他到达和离开景区的时间都必须是 kk 的非负整数倍。由于节假日客流众多，小 Z 在旅游巴士离开景区前只想一直沿着景区道路移动，而不想在任何地点（包括景区入口和出口）或者道路上停留。

出发前，小 Z 忽然得知：景区采取了限制客流的方法，对于每条道路均设置了一个 “开放时间”a _ iai​，游客只有不早于 a _ iai​ 时刻才能通过这条道路。

请帮助小 Z 设计一个旅游方案，使得他乘坐旅游巴士离开景区的时间尽量地早。

输入格式

输入的第一行包含 3 个正整数 n, m, kn,m,k，表示旅游景点的地点数、道路数，以及旅游巴士的发车间隔。

输入的接下来 mm 行，每行包含 3 个非负整数 u _ i, v _ i, a_ iui​,vi​,ai​，表示第 ii 条道路从地点 u _ iui​ 出发，到达地点 v _ ivi​，道路的“开放时间”为 a _ iai​。

输出格式

输出一行，仅包含一个整数，表示小 Z 最早乘坐旅游巴士离开景区的时刻。如果不存在符合要求的旅游方案，输出 -1。

输入输出样例

输入 #1复制

5 5 3
1 2 0
2 5 1
1 3 0
3 4 3
4 5 1

输出 #1复制

6

说明/提示

【样例 #1 解释】

小 Z 可以在 33 时刻到达景区入口，沿 1 \to 3 \to 4 \to 51→3→4→5 的顺序走到景区出口，并在 66 时刻离开。

【样例 #2】

见附件中的 bus/bus2.in 与 bus/bus2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据有：2 \leq n \leq 10 ^ 42≤n≤104，1 \leq m \leq 2 \times 10 ^ 41≤m≤2×104，1 \leq k \leq 1001≤k≤100，1 \leq u _ i, v _ i \leq n1≤ui​,vi​≤n，0 \leq a _ i \leq 10 ^ 60≤ai​≤106。

测试点编号	n \leqn≤	m \leqm≤	k \leqk≤	特殊性质
1 \sim 21∼2	1010	1515	100100	a _ i = 0ai​=0
3 \sim 53∼5	1010	1515	100100	无
6 \sim 76∼7	10 ^ 4104	2 \times 10 ^ 42×104	11	a _ i = 0ai​=0
8 \sim 108∼10	10 ^ 4104	2 \times 10 ^ 42×104	11	无
11 \sim 1311∼13	10 ^ 4104	2 \times 10 ^ 42×104	100100	a _ i = 0ai​=0
14 \sim 1514∼15	10 ^ 4104	2 \times 10 ^ 42×104	100100	u _ i \leq v _ iui​≤vi​
16 \sim 2016∼20	10 ^ 4104	2 \times 10 ^ 42×104	100100	无

附件下载

bus.zip155.15KB

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10010,M=20010,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,k;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx=0;
int dis[N][105],path[N];
void add(int a,int b,int c) {
    e[idx]=b;
    w[idx]=c;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
struct node {
    int v,d;
} t;
struct cmp{
    bool operator()(const node a,const node b) {
        return a.d>b.d;
    }
};
int dijkstra() {
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    priority_queue<node,vector<node>,cmp> heap;
    path[1]=0;
    heap.push({1,0});
    while(!heap.empty()) {
        t=heap.top();
        heap.pop();
        if(dis[t.v][t.d%k]<t.d) continue;
        for(int i=h[t.v]; i!=-1; i=ne[i]) {
            int j=e[i];
            int tt=t.d;
            if(tt+1<w[i]) {
                tt+=((w[i]-1-tt+k)/k*k);
            }
            if(tt+1<dis[j][(tt+1)%k]) {
                dis[j][(tt+1)%k]=tt+1;
                heap.push({j,dis[j][(tt+1)%k]});
            }
        }
    }
    if(dis[n][0]>=inf) return -1;
    else return dis[n][0];
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,a;
        cin>>u>>v>>a;
        add(u,v,a);
    }
    cout<<dijkstra();
    return 0;
}

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