2019牛客暑期多校训练营（第五场）

Rank	Solved	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
219/801	3/10	O	Ø	Ø	Ø	Ø	Ø	O	Ø	O	Ø

O: 当场通过

Ø: 赛后通过

.: 尚未通过

A digits 2

solved by viscaria

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viscaria’s solution

把n头尾相连重复n个即可

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upsolved by chelly

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chelly’s solution

若要求最小，可以按照模n建图，跑最短路即可。也可以dp。

B generator 1

upsolved by viscaria

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viscaria’s solution

10进制快速幂

C generator 2

upsolved by chelly

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chelly’s solution

可以转化成求离散对数的问题。求$a^n=c(modp)$的问题，可以设置一个$M$，将$n$写成$n=xM-y$的形式，于是就变成了$a^{xM}=c\times a^y(modp)$。所以可以预处理所有的$a^y$，然后枚举所有的$a^{xM}$。时间复杂度是$O(\frac{p}{M}+M)$，显然$M=\sqrt{p}$的时候时间复杂度最低，为$O(\sqrt{p})$。但是这个问题里有$q$组$c$，所以直接BSGS的时间复杂度是$O(q\times \sqrt{p})$，会TLE。
实际上我们可以预处理左边的$a^{xM}$，对于每组$c$，枚举右边的$c\times a^y$即可。这样时间复杂度是$O(\frac{p}{M}+qM)$。所以当$M=\sqrt{\frac{p}{q}}$的时候取到最小复杂度，为$O(\sqrt{pq})$。

D generator 3

upsolved by chelly

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chelly’s solution

注意到模数很小，所以循环节会很短，x和y的循环节分别是2e5范围。但是两维坐标的循环节可能会高达4e10。
实际上，对于每个y，我们只需要保留最小的x和最大的x即可。问题就变成了如何对于每个y，快速求出其对应的最小的x和最大的x。
我们可以先求出x和y的循环节，并把前面不在循环里的部分对齐。然后就可以按照$l_x$和$l_y$按照剩余系进行分类。如果没有$n$的限制，显然对于一个$y_i$，就是求剩余系里的那些位置的最小值/最大值即可。现在有了$n$的限制，实际上就是求这个剩余系里按顺序的前$k$个中的最大/最小。直接RMQ即可。

E independent set 1

upsolved by chelly

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chelly’s solution

状压DP
dp[S]表示S集合表示的子图的最大独立集大小，转移的时候枚举S的最高位1进行转移即可。可以从小到大递推求出每个数字最高位的1的位置。
时间复杂度$O(2^n)$。

F independent set 2

upsolved by chelly

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chelly’s solution

等价于求补图的最大独立集，补图实际上是二分图。所以直接二分图匹配求最大独立集即可。

G subsequence 1

solved by viscaria

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viscaria’s solution

H subsequence 2

upsolved by chelly

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chelly’s solution

直接拓扑排序即可

I three points 1

solved by viscaria

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viscaria’s solution

J three points 2

upsolved by chelly

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chelly’s solution

考虑路径的交点$O$，那么$OX,OY,OZ$的长度分别都能算出来，然后树$dp$可以求出以每个点为$O$，最长的三个分叉。然后就是一个三维数点问题了。

Dirty Replay

• F题补题的时候WA了2发，原因是没有正确的输出二分图最大独立集的方案。
• J题补题的时候WA了几发，原因是有个地方忘记了排序