2019牛客暑期多校训练营（第五场）B-generator 1(矩阵快速幂的小技巧)

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本文深入探讨了如何利用矩阵快速幂算法高效计算大次幂下的矩阵运算，通过将大次幂分解为更小的幂次组合，实现了O(len*log_2(10)*n^3)的时间复杂度。文章提供了详细的算法实现步骤及代码示例。

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a矩阵的123次幂是不是可以拆成： $a^{120}*a^3$ ， $a^{12}$ 是不是可以拆成 $a^{10}*a^2$ ，于是当我们面对一个超级大的次幂，例如长度为1e6的字符串次幂，我们可以预处理矩阵的0~9次幂出来，然后从前向后计算：(就相当于字符串转成十进制数字时候的模拟过程)

	int k;
	char s[1000009];
    for(int i=0;i<len;++i){
        res=quick(res,10);
        k=s[i]-'0';
        res=res*a[k];
    }

那么这个的复杂度显然为： $O(len*log_2(10)*n^3)$
其中n为矩阵大小，len为字符串长度，log10为快速幂的操作。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=1e6+7;
char s[maxn];

int mod;

struct Node{
    ll a[2][2];
    Node operator * (Node b){
        Node res;
        res.a[0][0]=res.a[1][1]=res.a[0][1]=res.a[1][0]=0;
        for(int i=0;i<2;++i)
            for(int j=0;j<2;++j)
                for(int k=0;k<2;++k)
                    res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
            return res;
    }
}danwei,yuanshi[19],temp;

Node quick(Node a,int b){
    temp.a[0][0]=temp.a[1][1]=1;
    temp.a[0][1]=temp.a[1][0]=0;
    while(b){
        if(b&1) temp=temp*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return temp;
}

int main(){
    int x0,x1,a,b;
    scanf("%d%d%d%d%s%d",&x0,&x1,&a,&b,s,&mod);
    danwei.a[0][0]=danwei.a[1][1]=1;
    yuanshi[0].a[0][0]=yuanshi[0].a[1][1]=1;
    yuanshi[0].a[0][1]=yuanshi[0].a[1][0]=0;
    yuanshi[1].a[0][0]=a,yuanshi[1].a[0][1]=b;
    yuanshi[1].a[1][0]=1,yuanshi[1].a[1][1]=0;
    for(int i=2;i<=9;++i)
        yuanshi[i]=yuanshi[i-1]*yuanshi[1];

    int len=strlen(s);
    int k;
    for(int i=0;i<len;++i){
        danwei=quick(danwei,10);
        k=s[i]-'0';
        danwei=danwei*yuanshi[k];
    }
    printf("%lld\n",(danwei.a[1][0]*x1+danwei.a[1][1]*x0)%mod);

    return 0;
}