2019牛客暑期多校训练营（第四场）

Rank	Solved	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	k
42/697	6/11	O	Ø	O	O	Ø	Ø	Ø	.	O	O	O

O: 当场通过

Ø: 赛后通过

.: 尚未通过

A meeting

solved by viscaria&chelly

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chelly’s solution

B xor

upsolved by chelly

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chelly’s solution

这里主要是线性基求交，这里说下线性空间怎么求交。

设$2$组基{a1,a2,...,an}\{ a_1,a_2,...,a_n \}{a1​,a2​,...,an​}和{b1,b2,...,bm}\{ b_1,b_2,...,b_m \}{b1​,b2​,...,bm​}。
暴力的想法：我们找出所有满足$k_1{a}_{x_1}+k_2{a}_{x_2}+...+k_p{a}_{x_p}=k_1^{\prime }{b}_{y_1}+k_2^{\prime }{b}_{y_2}+...+k_q^{\prime }{b}_{x_q}$的$k_1{a}_{x_1}+k_2{a}_{x_2}+...+k_p{a}_{x_p}$，将它们丢到交空间中，对它们求一组基就是答案。
我们构造一个基$all$，初始为{a1,a2,...,an}\{ a_1,a_2,...,a_n \}{a1​,a2​,...,an​}
依次考察$b_1,b_2,b_3,...,b_m$

• 对于$b_i$，若其不能被$all$线性表示，那么将其加入$all$，于是$all$变成了{a1,a2,...,an,bj,...,bi}\{a_1,a_2,...,a_n,b_j,...,b_i\}{a1​,a2​,...,an​,bj​,...,bi​}
• 对于$b_i$，若其能被$all$线性表示，那么可以求出它的表示：$k_1{a}_{x_1}+k_2{a}_{x_2}+...+k_p{a}_{x_p}+k_{p+1}{b}_{y_1}+k_{p+2}{b}_{y_2}+...=b_i$。移项之后，左边变成只有$a$的，右边变成只有$b$的，我们就可以把这个$k_1{a}_{x_1}+k_2{a}_{x_2}+...+k_p{a}_{x_p}$加入到交空间中。

对交空间高斯消元求基即可。

C sequence

solved by chelly

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chelly’s solution

D triples I

solved by chelly&viscaria&vegetablest

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chelly’s solution

E triples II

upsolved by viscaria

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viscaria’s solution

F merge

upsolved by chelly

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chelly’s solution

注意到l=1,所以用merge-split treap直接暴力维护即可。因为每次额外的合并操作总会使得段数增加，而段数最多就$n$段，所以时间复杂度均摊是$O((n+q)logn)$。若l不是1，那么时间复杂度就不对了，可能会带来段数的额外减少。

G tree

upsolved by chelly

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利用树hash来表示一个树。注意到不超过12个点的本质不同的有根树数量不是很多，可以直接在原树上树dp。
$dp[u][i][hash]$表示以$u$为根的子树中，以$u$为根且大小为$i$的哈希值为$hash$的子树的个数。转移类似树上背包的转移。
对于每个询问，可以枚举根，得到所有可能的有根树，然后把dp值加起来即可。

H RNGs

unsolved

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I string

solved by chelly

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chelly’s solution

J free

solved by viscaria&chelly

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chelly’s solution

K number

solved by chelly

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chelly’s solution

Dirty Replay

• J题超时了一发，原因是没有正确重载priority_queue的比较符
• C题WA了一发，T了一发。WA的原因是并查集合并的时候忘记合并了并查集(大雾。T的原因是线段树带了个$log$，所以T了。(可是明明别人log就不超时 TVT)