Uva 10984 Double NP-hard（二分图）

题目地址：https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1925

思路：

1.求一点集，使得其为图的最小覆盖集和最大独立集。

2.首先，若该图不为二分图，则必无解：若不为二分图，则存在奇数长度回路，设该回路上点数为2*k+1。则由定义，至多k个点在最大独立集中，至少k+1个点在最小覆盖集中，矛盾。所以必不存在奇数长度回路。

2.二分图条件下，X部与Y部点数必相同：由二分图性质得最大匹配数=最小覆盖集大小，最大独立集大小=n-最大匹配数。由于最大匹配数不大于min{|X|，|Y|}，所以最小覆盖集不超过min{|X|，|Y|}。则最大独立集不小于max{|X|，|Y|}，则若最大独立集大小等于最小覆盖集大小则必须|X|等于|Y|。

3.由于最大独立集大小等于最小覆盖集大小，即最大匹配数=n-最大匹配数，则最大匹配数等于n/2存在解（由2，n为奇数必无解）。

4.综上，点集即为X部或Y部。

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define S 0
#define T n+1
#define debug
using namespace std;

const int maxn = 10000+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge
{
    int to,nt;
};

int tot,n,m;
vector<int> ans[2];
Edge edge[maxn*200];
int col[maxn],disy[maxn];
int head[maxn],matx[maxn];
int maty[maxn],disx[maxn];

void addEdge(int u,int v)
{
    edge[tot].to=v,edge[tot].nt=head[u],head[u]=tot++;
}

void init()
{
    tot=0;
    memset(col,-1,sizeof(col));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    ans[0].clear(),ans[1].clear();
}

int check(int s)
{
    queue<int> q;
    q.push(s),col[s]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int now=q.front();
        q.pop();
        ans[col[now]].push_back(now);
        for(int i=head[now]; ~i; i=edge[i].nt)
        {
            int nt=edge[i].to;
            if(col[nt]==-1)
            {
                col[nt]=col[now]^1;
                q.push(nt);
            }
            else if(col[nt]==col[now])
            {
                return 0;
            }
        }
    }
    return 1;
}

bool bfs()
{
    queue<int> q;
    memset(disx,-1,sizeof(disx));
    memset(disy,-1,sizeof(disy));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(matx[i]==-1)
    {
        q.push(i);
        disx[i]=0;
    }
    }
    bool flg=0;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nt)
        {
            int nt=edge[i].to;
            if(disy[nt]==-1)
            {
                disy[nt]=disx[u]+1;
                if(maty[nt]==-1) flg=1;
                else
                {
                    disx[maty[nt]]=disy[nt]+1;
                    q.push(maty[nt]);
                }
            }
        }
    }
    return flg;
}

bool dfs(int u)
{
    for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nt)
    {
        int nt=edge[i].to;
        if(disy[nt]==disx[u]+1)
        {
            disy[nt]=0;
            if(maty[nt]==-1||dfs(maty[nt]))
            {
                maty[nt]=u;
                matx[u]=nt;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int maxMatch()
{
    int ret=0;
    memset(matx,-1,sizeof(matx));
    memset(maty,-1,sizeof(maty));
    while(bfs())
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(matx[i]==-1&&dfs(i)) ret++;
        }
    }
    return ret;
}

int main()
{
#ifdef debu
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif // debug

    int t,cas=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        init();

        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            addEdge(x,y),addEdge(y,x);
        }

        int flag=1;
        if(n&1) flag=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            if(col[i]==-1&&!check(i))
            {
                flag=0;
                break;
            }
        }
        if(ans[0].size()*2!=n) flag=0;

        if(maxMatch()!=n) flag=0;

        printf("Case #%d: ",++cas);

        if(!flag) printf("Impossible\n");
        else
        {
            printf("%d\n",ans[0].size());
            sort(ans[0].begin(),ans[0].end());
            for(int i=0; i<ans[0].size(); i++)
            {
                if(i==0) printf("%d",ans[0][i]);
                else printf(" %d",ans[0][i]);
            }
            printf("\n");
        }

    }

    return 0;
}