第七届蓝桥杯总决赛 整数的划分问题

问题引入：如，对于正整数n=6，可以分划为：6,5+1,4+2, 4+1+1   3+3, 3+2+1, 3+1+1+1  2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1  1+1+1+1+1+1+1   

 现在的问题是，对于给定的正整数n,编写算法打印所有划分。 用户从键盘输入 n （范围1~10） 程序输出该整数的所有划分。

思路分析：整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，

是指把一个正整数n写成如下形式：     n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}

为n的一个划分。  如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。

这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);  例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};  

注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。  该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们用递归法考虑求f(n,m)的方法;    

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：    

 (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};    

 (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1}; 

 (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：      

   (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；        

   (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分. 因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);     

 (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);    

 (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

   (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下 为f(n-m,m)         

   (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);  

   第五种情况中为划分中最大的整数不超过m，而不超过m则有两种情况，一种是划分中有m，此时剩下的则为n-m，那么相当于对n-m进行划分，

   并且划分中的最大整数不超过m；另一种情况为不包含m，那么最大整数位m-1，相当于对n进行划分，最大整数不超过m-1.因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);       

   综上所述：                            

   f(n, m)= 1;              (n=1 or m=1)                          

   f(n,m)= f(n, n);                   (n<m) 

   1+ f(n, m-1);              (n=m)                             

    f(n-m,m)+f(n,m-1);         (n>m)   

代码如下 ：

package 第七届总决赛;

import java.util.Scanner;

public class 整数的划分个数 {
	public static void main(String args[]){
		int n=new Scanner(System.in).nextInt();
		int m=f(n,n);
		System.out.print(m);
	}
	public static int f(int n,int m){
		if(n==1 || m==1)
			return 1;
		else if(n<m)
			return f(n,n);
		else if(n==m)
			return 1+f(n,n-1);
		else
			return f(n,m-1)+f(n-m,m);
	}
	

}