本文介绍如何运用动态规划解决石子合并、多边形剖分等问题，包括问题描述、思路分析及代码实现。
一、石子合并
1.问题引入
在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。第一行输入一个正整数n，第二行输入n个正整数表示每一堆的石子数，最后分别输出最小得分和最大得分。样例输入：44 4 9 5样例输出43542.思路分析
在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。
我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。
当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;
当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);
当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为
MIN( (m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)) (m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2) );
当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);
当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为
MIN( (m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)) (m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2) );
由此得状态转移方程为：F[i,j] = min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);
3.代码如下
<span style="color:#330099">package 动态规划__剖分问题;
import java.util.Scanner;
public class 圆形石子合并 {
private static int n;
private static int[] arr;
private static int[] sum;
private static int[][] dp;
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner sc=new Scanner(System.in);
n=sc.nextInt();
arr=new int[2*n];
sum=new int[2*n];
for(int i=1;i<=n;i++){
arr[i]=sc.nextInt();
sum[i]=sum[i-1]+arr[i];
}
for(int i=n+1;i<=2*n-1;i++){
arr[i]=arr[i-n];
sum[i]=sum[i-1]+arr[i];
}
minFun();
maxFun();
}
private static void minFun(){
dp=new int[2*n][2*n];
for(int r=1;r<=n-1;r++){
for(int i=1;i<=2*n-1;i++){
int j=i+r;
if(j>=2*n){
continue;
}
dp[i][j]=dp[i][i]+dp[i+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
for(int k=i+1;k<j;k++){
dp[i][j]=Math.min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
}
}
}
int result=dp[1][n];
for(int i=2;i<=n;i++){
result=Math.min(result,dp[i][n-1+i]);
}
System.out.println(result);
}
private static void maxFun(){
dp=new int[2*n][2*n];
for(int r=1;r<=n-1;r++){
for(int i=1;i<=2*n-1;i++){
int j=i+r;
if(j>=2*n){
continue;
}
dp[i][j]=dp[i][i]+dp[i+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
for(int k=i+1;k<j;k++){
dp[i][j]=Math.max(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
}
}
}
int result=dp[1][n];
for(int i=2;i<=n;i++){
result=Math.max(result,dp[i][n-1+i]);
}
System.out.println(result);
}
}</span>
二、多边形剖分
1.问题引入
2.思路分析
3.代码如下
三、乘积最大
1.问题引入
设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：
1） 3*12=36
2） 31*2=62
这时，符合题目要求的结果是：31*2=62
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。
输入格式
程序的输入共有两行：
第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
第二行是一个长度为N的数字串。
输出格式
结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。
2.思路分析
设dp[i][j]表示前i个数用了j个乘号得到的最大乘积，则当遍历到第i个数时，如果最后一个是乘号，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*a[i]；如果最后一个不是乘号，则表示前i-1个数肯定用了j个乘号。由此得到状态转移方程dp[i][j]=Max{
dp[i-1][j-1]*a[i], dp[i-1][j] }。我们可以算出几个初始值：如果没有乘号，则dp[i][0]就等于输入的数字串，如果没有数字，则有最多的乘号，值也是0。
3.代码如下
<span style="color:#330099">package 动态规划__剖分问题;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
public class 乘积最大问题 {
public static void main(String args[]) throws IOException{
BufferedReader buf=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String s=buf.readLine();
String s1[]=s.split(" ");
int n=Integer.parseInt(s1[0]);
int k=Integer.parseInt(s1[1]);
String t=buf.readLine();
String t1[]=t.split(" ");
int a[]=new int[n+1];//有效下标从1开始
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=Integer.parseInt(t1[i-1]);
int max=fun(n,k,a,t1);
System.out.print(max);
}
public static int fun(int n,int k,int a[],String[] t1){
int dp[][]=new int[n+1][k+1];
String t="";
for(int i=1;i<=n;i++){
t=t+t1[i-1];
dp[i][0]=Integer.parseInt(t);
}
for(int i=1;i<=k;i++) dp[0][i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=k;j++)
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j-1]*a[i], dp[i-1][j]);
}
return dp[n][k];
}
}</span>
四、多边形-讨论的动态规划
1.问题引入
有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值，每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。
游戏第1步，将一条边删除。
随后n-1步按以下方式操作：
(1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2；
(2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。
最后，所有边都被删除，游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。
| 输入： | 输入共两行，第一行一个整数n表示顶点个数，第二行共2*n个数，分别为数字和字符。 例如：对于上图中的问题，我们可以这样按输入样例中的例子输入,数学中的“+”号代表加法，小写字母“x”代表乘法。 |
| 输出： | 一个整数，计算最高得分。 |
| 输入样例： | 5 |
|
输出样例： | 486 |
2.思路分析
3.代码如下
<span style="color:#330099">package 动态规划__剖分问题;
import java.util.Scanner;
public class 多边形_讨论的动态规划 {
static int n;
static int[][][] m;
static int minf,maxf;
static char op[];
private static void minMax(int i,int s,int j)
{
int []e=new int[4];
int a=m[i][s][0],
b=m[i][s][1],
r=(i+s+1)%n,
c=m[r][j-s-1][0],
d=m[r][j-s-1][1];
if(op[(r-1+n)%n]=='+')
{
minf=a+c;
maxf=b+d;
}
else
{
e[0]=a*c;
e[1]=a*d;
e[2]=b*c;
e[3]=b*d;
minf=e[0];
maxf=e[0];
for(int k=1;k<4;k++)
{
if(minf>e[k])
minf=e[k];
if(maxf<e[k])
maxf=e[k];
}
}
}
public static int polyMax()
{
for(int j=1;j<n;j++)
for(int i=0;i<n;i++)
for(int s=0;s<j;s++)
{
minMax(i,s,j);
if(m[i][j][0]>minf)
m[i][j][0]=minf;
if(m[i][j][1]<maxf)
m[i][j][1]=maxf;
}
int temp=m[0][n-1][1];
for(int i=1;i<n;i++)
{
if(temp<m[i][n-1][1])
temp=m[i][n-1][1];
}
return temp;
}
public static void main(String arg[])
{
Scanner s=new Scanner(System.in);
String line=s.nextLine();//读入n
n=Integer.parseInt(line);
m=new int[n][n][2];
op=new char[n];
line=s.nextLine();
String []sArray=line.split(" ");
int i=0;
for(int j=0;j<sArray.length;j=j+2)
{
m[i][0][0]=m[i][0][1]=Integer.parseInt(sArray[j]);
i++;
}
i=0;
for(int j=1;j<sArray.length;j=j+2)
{
op[i]=sArray[j].charAt(0);
i++;
}
System.out.println(polyMax());
}
}</span>
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