约瑟夫问题是一个经典的递归问题，文章详细介绍了问题描述、解决思路以及扩展思考。通过分析发现，当n为2的幂时，幸存号码可以通过循环左移二进制位计算得出。对于J(J(n))，文章探讨了2进制值循环左移的规律，指出在首位为0时需删除0并继续左移，直到得到稳定值（全1二进制数）。
约瑟夫问题
问题描述
从围成标记有记号1到n的圆圈的n个人开始，每隔一个人删去一个人，知道只剩一个人。例如n=10的起始图形：
消去的顺序是2，4，6，8，10，3，7，1，9，于是5幸存了下来。问题：确定幸存的号码 J ( n ) J(n) J(n)。
解决思路
- 从简单情形出发，找规律
| n n n | 1 2 3 4 5 6 |
|---|---|
| J ( n ) J(n) J(n) | 1 1 3 1 3 5 |
发现并没有明显规律。
- 发现 J ( 2 n ) J(2n) J(2n)与 J ( n ) J(n) J(n)的关系：
J(20)时，删去2,4,6…2n后，剩下的情形和J(n)相似，个数与顺序相同就表明幸运号码在相同的地方，不同之处就是，每项的数字大小，容易得到：
J ( 2 n ) = 2 J ( n ) − 1 J(2n)=2J(n)-1 J(2n)=2J(n)−1
类似的发现 J ( 2 n + 1 ) = 2 J ( n ) + 1 J(2n+1)=2J(n)+1 J(2n+1)=2J(n)+1
由以上递推式可以列表：
| n n n | 1 | 2 3 | 4 5 6 7 | 8 9 10 11 12 13 14 15 | 16 … |
|---|---|---|---|---|---|
| J ( n ) J(n) J(n) | 1 | 1 3 | 1 3 5 7 | 1 3 5 7 9 11 13 15 | 1 … |
可以得出
J ( 2 k + m ) = 2 m + 1 , k , m = 0 , 1 , 2... J(2^k+m)=2m+1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k,m=0,1,2... J(2k+m)=2m+1,
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