约瑟夫环的问题1

n个人做成一圈，顺时针由1开始给他们编号，然后由第一个人进行报数，数到m的人出局，接着下一个人又从1开始报数，只剩最后一个人的时候求这个人的编号

特例：当m = 2的时候

① n = 2^k

如果只有2个人，显然剩余的为1号如果有4个人，第一轮除掉2,4，剩下1,3，3死，留下1 。如果是8个人，先除去2,4,6,8,之后3,7，剩下1,5，除去5，又剩下1了

递推，起始我们仔细分析也就是每次除去一半的元素，然后剩余的一半继续重复之前的策略，再除去一半。（可想到递归）

结合：J(2) = 1我知道两个数，从1开始，肯定是2先死，剩下1.

得到：j(2^k)= 1

②当 n != 2^k (n = 9  11)

n 不等于2^k时，就不存在这样的easy的规律了，重新分析：

假设n =9，这时候如图下： 

能看出来，我们干掉第一个人也就是2，之后就只剩下8个人了，又回到J(2^k)上了，这时候我们需要的是找到当前的1号元素。 

见图下： 

这时候，我们从3号开始，就成了另外一个规模小1的约瑟夫问题（恰好为2^k的特例）。 

这时候，我们可以把3号看成新的约瑟夫问题中的1号位置： 

J(8) = J(2^3) =1，也就是说这里的1代表的就是上一个问题中的3号

So：J(9) =3 

答案为3号

同理可知所有的非2^k的数都是这样：【找到新的1号】

假设n = 2^k +t，t可以随意取，比如1，2，3…….

假设n = 11，这时候n =2^3 + 3，也就是说t = 3，所以开始剔除元素直到其成为2^k问题的约瑟夫问题。 

So，我们在剔除了t（3）个元素之后（分别是2,4,6），此时我们定格在2t+1（7）处，并且将2t+1（7）作为新的一号，而且这时候的约瑟夫环只剩下2^3，也就是J(2^3+ 3) = 2*3 + 1 = 7，答案为7

总结一下这个规律： 

J(2^k + t) = 2t+1

3.当q不等于2的情况下：

当q≠ 2：

我们假定： 

- n —n人构成的约瑟夫环 

- q —每次移除第q个人 

约定： 

-Jq(n)表示n人构成的约瑟夫环，每次移除第q个人的解 

- n个人的编号从0开始至n-1

我们沿用之前特例的思想：能不能由Jq(n+1)的问题缩小成为J(n)的问题（这里的n是n+1规模的约瑟夫问题消除一个元素之后的答案），Jq(n)是在Jq(n+1)基础上移除一个人之后的解。也就是说，我们能由Jq(n)得到Jq(n+1)。

规律：Jq(n+1) = (Jq(n) + q ) / (n+1) 

【

初始情况： 0, 1, 2......n-2, n-1 (共n个人)

第一个人(编号一定是(m-1)%n,设之为(k-1),读者可以分m<n和m>=n的情况分别试下，就可以得出结论) 出列之后，

剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k==m%n的人开始）:

 k k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ...,k-3, k-2 

现在我们把他们的编号做一下转换：

x'-> x

k    --> 0

k+1   --> 1

k+2   --> 2

...

...

k-2   -->n-2

k-1   -->n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗！

x ->ｘ＇？(这正是从n-1时的结果反过来推n个人时的编号！)

0 -> k

1 -> k+1

2 -> k+2

...

...

n-2 -> k-2

变回去的公式x'=(x+k)%n

那么，如何知道(n-1)个人报数的问题的解？只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？只要知道(n-3)的情况就可以了---- 这显然就是一个递归问题：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果就是f[n]

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+k)%i =(f[i-1] +m%i) % i = (f[i-1] + m) % i ;  (i>1)

】

class Joseph:
    def getResult(self, n, m):
        # write code here
        res = self.Josephus(n,m)
        return res + 1
    def Josephus(self,n,m):
        if n == 1:
            return 0
        else:
            return (self.Josephus(n-1,m)+m)%n