泰勒公式

本文介绍了泰勒级数的基本概念,这是一种在数学中使用无限级数表示函数的方法,特别强调了在某一点通过函数的导数求得级数项的过程。文章通过实例展示了如何使用Geogebra软件验证泰勒公式的正确性,包括sinx函数的泰勒级数拟合图像,并解释了为何某些函数无法用泰勒级数模拟。

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一、定义(参考百度百科):

在数学中,泰勒级数(英语:Taylor series)用无限项连加式——级数来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

表达式:
https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D581/sign=5eee3e47023b5bb5bad720f607d1d523/b90e7bec54e736d159f4b3e49a504fc2d4626972.jpg

 

称为 https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D32/sign=86391189e4dde711e3d245f4a6ef2144/9f510fb30f2442a78a685c29d043ad4bd01302d3.jpg 在点x0处的泰勒级数。

在泰勒公式中,取x0=0,得到的级数称为麦克劳林级数。

二、数学中实例:

验证泰勒公式:

利用软件Geogebra可画出原函数和利用其泰勒级数拟合的图像作比较:

如下:

输入函数TaylorPolynomial( <Function>, <x-Value>, <Order Number> )

第一个参数为函数表达式,第二个参数表示拟合的级数,第三个参数是表示在x0处展开的泰勒级数。

1、画出sinx泰勒级数TaylorPolynomial(sinx, 0, a ),a表示滑动条的变量

2、画出sinx函数

3、添加滑动条a

PS.

1、导出gif图片用的是ExportImage("filename", "image.gif", "type", "gif", "slider", a, "loop", true, "time", 200, "width", 400)指令

参数a 指的是滑动条变量 

具体见https://wiki.geogebra.org/en/ExportImage_Command

2、为什么有的函数在某点泰勒展开后,无法用泰勒级数去模拟函数,因为该函数在该点位置存在奇点,而能用泰勒级数展开的公式奇点都是在无穷远的地方

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