牛顿迭代法求平方根

申明一下：数学渣轻喷。。。

求平方根可以用二分的思路。二分其实也挺快的，不过还有更快的算法求平方根——牛顿迭代法。

如果我们要求a的平方根，首先令f(x)=x^2-a;那么我们的目的就是求得x使得f(x)=0;

在网上找了一张图：

由函数f(x)=x^2-a，我们求导可以知道，函数上任意一点(x,y)的切线的斜率为2x。

假设过点（x0,y0）的切线方程为y=kx+b，那么切线与x轴的交点横坐标为-b/k。

而b=y0-kx0,k=2x0,y0=x0^2-a,化简-b/k=（x0+a/x0）/2。

也就是说（x0+a/x0）/2是过点（x0,y0）的切线与x轴的交点的横坐标。

记（x0+a/x0）/2=x',继续求过点（x',f(x')）的切线与x轴的交点的横坐标x''，很明显x''比x'更靠近函数f(x)=x^2-a与x轴的交点的横坐标(即a的正平方根)。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

double sqr(double x)
{
	double k=x;
	while(k*k-x>1e-9)
		k=0.5*(k+x/k);
	return k;
}

int main()
{
	double x;
	while(cin>>x)
		printf("%.9lf\n",sqr(x));
	return 0;
}