27、相互依赖SOS估值的更好近似及公平分配机制研究

相互依赖SOS估值的更好近似及公平分配机制研究

1. 相互依赖SOS估值相关证明与机制

在拍卖场景中，对于相互依赖的SOS（Submodular over Signals）估值，我们有一系列重要的证明和机制设计。

首先来看一个关键的证明：
[
\begin{align }
E_A[v_i(s_A, 0_B, s_i)]&=\sum_{A}p^{|A|}(1 - p)^{|B|} \cdot v_i(s_A, 0_B, s_i)\
&=\sum_{a = 1}^{n - 1}p^a(1 - p)^{n - 1 - a} \cdot \sum_{A:|A| = a}v_i(s_A, 0_B, s_i)\
&\geq\sum_{a = 1}^{n - 1}p^a(1 - p)^{n - 1 - a} \cdot \frac{a}{n - 1}\binom{n - 1}{a}v_i(s)\
&= p \cdot v_i(s) \cdot \sum_{a = 1}^{n - 1}p^{a - 1}(1 - p)^{n - 1 - a}\binom{n - 2}{a - 1}\
&= p \cdot v_i(s) \cdot (p + (1 - p))^{n - 2}\
&= p \cdot v_i(s)
\end{align }
]

接下来证明定理2。不失一般性，假设在信号配置 (s) 下，代理1和代理2分别获得最大和第二大的值。我们从两个不相交的事件 (1 \in B) 和 (2 \in B \land 1 \in A)