16、分数微积分中的Mikusiński运算微积分及3D起重机控制应用

分数微积分中的Mikusiński运算微积分及3D起重机控制应用

1. 分数差分算子解的渐近性

考虑一阶和ν阶nabla差分方程：
- 一阶nabla差分方程：(\left(\nabla u\right)(t) = c(t)u(t), t \in N_{a + 1})
- ν阶nabla差分方程：(\left(\nabla^{\nu} {\rho(a)}u\right)(t) = c(t)u(t), t \in N {a + 1})

对于一阶nabla差分方程，若(\lim_{t \to \infty} \left|\prod_{s = a + 1}^{t} [1 + c(s)]\right| = 0)，则其所有解当(t \to \infty)时趋于0。对于ν阶nabla差分方程，若(\vert c(t) + \nu\vert \leq \nu)，(t \in N_{a + 1})，则其所有解当(t \to \infty)时趋于0。例如，当(t \in N_1)，(c(t) = 0)时，(\left(\nabla u\right)(t) = 0)的解当(t \to \infty)时不趋于0，而(\left(\nabla^{\nu}_{\rho(0)}u\right)(t) = 0)的解当(t \to \infty)时趋于0。

2. Mikusiński运算微积分在经典分数微积分中的应用

2.1 起源与发展

Mikusiński运算微积分是一种代数形式体系，用于理解微积分算子和解微分方程。它由波兰数学家J. Mikusiński在20世纪50年代提出，虽比拉普拉斯变换法适用范围更广，但未获得广