算法与递归：Sierpiński地毯与性能分析

背景简介

在编程学习的旅程中，理解算法原理和性能评估是至关重要的。今天，我们将探索Sierpiński地毯的递归生成，以及如何通过编写程序来实现这一目标。此外，我们还将探讨算法的性能分析，使用Python中的实例来衡量算法的执行时间。

Sierpiński地毯的递归之美

Sierpiński地毯是一种经典的分形图形，它通过递归方式在每个迭代阶段删除地毯的中心部分来形成。本章节提供了绘制Sierpiński地毯的Python程序，让我们有机会亲手实现这一分形图形的生成过程。

import matplotlib.pyplot

def rectangle(x,y,size):
    return [x, x+size, x+size, x, x], [y, y, y+size, y+size, y]

def sierpinski_carpet(x,y,size):
    if size<1:
        return
    for i in range(3):
        sx = x + i*size/3
        for j in range(3):
            sy = y + j*size/3
            if (i==1 and j==1):
                xs, ys = rectangle(sx, sy, size/3)
                matplotlib.pyplot.fill(xs, ys, color='black')
            else:
                sierpinski_carpet(sx, sy, size/3)

sierpinski_carpet(0, 0, 100)
matplotlib.pyplot.axis('scaled')
matplotlib.pyplot.show()

通过上述代码，我们可以观察到每个函数调用都会生成8个递归调用，除了中心子正方形以外。如果递归深度为n，那么总共会有8^n + 1 - 1个调用。

算法性能的测量

算法性能分析是评估算法效率和优化程序的重要手段。本章节通过解决练习题，让我们测量了Python中排序算法的执行时间。通过时间测量，我们可以了解算法在处理不同长度列表时的性能表现。

import time
import random

def exp(n):
    l = [i for i in range(n)]
    random.shuffle(l)
    start = time.process_time_ns()
    l.sort()
    end = time.process_time_ns()
    return end - start

def rep_exp(n, r):
    t = 0
    for i in range(r):
        t += exp(n)
    return int(t / r)

for i in range(1, 100000, 1000):
    print(i, rep_exp(i, 10) // 1000, "μs")

通过实验，我们可以观察到排序算法在不同长度的列表上所需的执行时间，并分析其时间复杂度。

总结与启发

通过对Sierpiński地毯的递归生成和算法性能的测量，我们不仅加深了对分形和递归的理解，而且掌握了如何通过实际编程来评估算法的效率。这种方法论不仅适用于简单的排序算法，也能帮助我们在更复杂的算法设计和分析中找到定位。

未来，我们可以尝试将这些概念扩展到更广泛的算法，比如图算法或动态规划，并学习如何应用这些工具来解决实际问题。我们还可以探索不同编程语言和框架，以实现更高效的算法实现。