5、复阶导数、分数阶RLC电路与心血管疾病建模

复阶导数、分数阶RLC电路与心血管疾病建模

复阶导数

在信号处理中，为了将函数 $f(t)$ 用仅含正频率的正弦信号表示，构造了 $\hat{x}(t)$，它实际上是 $x(t)$ 的希尔伯特变换，这在一定程度上解决了频率类型的问题，因为只涉及正或负频率，而非两者皆有。然而，对于 $\cos(\omega_0t)$ 的导数，仍存在两种不同的定义：
[
D_{a + ib}\cos(\pm\omega_0t) =
\begin{cases}
|\omega_0|^a e^{-b\frac{\pi}{2}}\cos(\omega_0t + a\frac{\pi}{2} + b\log|\omega_0|) & \text{正频率}(+\omega_0) \
|\omega_0|^a e^{b\frac{\pi}{2}}\cos(\omega_0t + a\frac{\pi}{2} - b\log|\omega_0|) & \text{负频率}(-\omega_0)
\end{cases}
]
这导致了唯一性的丧失。

对于给定信号 $x(t)$ 及其傅里叶变换 $X(\omega)$，可按以下步骤处理：
1. 构造复信号，其傅里叶变换为 $F_{\pm}(\omega) = 2X(\omega)u(\pm\omega)$，其中 $u(.)$ 是海维赛德单位阶跃函数。信号 $f_{\pm}(t) = \mathcal{F}^{-1}F_{\pm}(\omega)$ 被称为上（$+$）和下（$-$）单边带信号。
2. 由于 $u(\pm\omega) = 1 \pm \text{sgn}(\om