28、短生成元恢复问题（RSGP）的分析与研究

短生成元恢复问题（RSGP）的分析与研究

1. 分圆单位群与对数单位格

首先，我们来介绍分圆单位群。设 (A) 是由 (\pm\zeta_q) 和 (z_j := \zeta_q^j - 1)（其中 (1 \leq j \leq q - 1) 且 (\gcd(j, q) = 1)）生成的 (K^ ) 的子群。(K) 的分圆单位群 (C) 定义为 (A \cap O_K^ )。

若 (q) 是素数幂整数，某些 (C) 的生成元（称为典范生成元）很容易计算。具体来说，对于素数幂整数 (q) 和 (G := (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^*/{\pm1})，设 (K) 是 (q) 次分圆域，对于每个 (j \in G \setminus {1})，令 (b_j := \frac{z_j}{z_1})，则 (K) 的分圆单位群 (C) 由 (\pm\zeta_q) 和 (b_j)（(j \in G \setminus {1})）生成。

接下来是对数单位格的介绍。(q) 次分圆域 (K) 的对数嵌入 (\text{Log}(\cdot)) 定义为一个映射 (\text{Log} : K^ \to \mathbb{R}^{\frac{\varphi(q)}{2}})，(a \mapsto (\log|\sigma_j(a)|)_{j \in G})，其中 (\sigma_j) 按之前的定义。设 (\mu(K)) 是由 (K) 中所有单位根生成的 (K^ ) 的子群，则 (\text{Ker}(\text{Log}) = \mu(K))。(K) 的对数单位格 (\Lambda) 定义为 (\Lambda := \text{Log}