24、最短向量问题的混合整数二次规划公式化

最短向量问题的混合整数二次规划公式化

1. 引言

格基密码学依赖于格问题的难度，如最短向量问题（SVP）和最近向量问题。SVP 是在给定整数格 $B$ 的基下寻找非零最短向量的问题，它是 NP 难问题。为了解决大规模的 SVP，我们提供了一个混合整数二次规划（MIQP）公式，并提出了一种限制 SVP 搜索空间的技术。这种方法有望提高解决混合整数规划问题的现有软件的性能。

2. 分支限界算法概述

分支限界算法是一种用于解决含整数变量优化问题的常用方法。考虑优化问题：
$P_X : \min_{x} { f(x) : x \in X, x \in R^n, x_j \in Z (j \in I)}$
其中，$f : X \to R$ 是目标函数，$X$ 是 $R^n$ 的子集，$I \subseteq N = {1, \ldots, n}$ 是变量索引集。如果 $x$ 满足 $x \in X$ 且 $x_j \in Z$ 对所有 $j \in I$ 成立，则称 $x$ 是 $P_X$ 的可行解。

其松弛问题为：
$\tilde{P} X : \min {x} { f(x) : x \in X, x \in R^n}$
由于 $\tilde{P}_X$ 包含 $P_X$ 的所有可行解，所以 $\tilde{P}_X$ 的最优值 $\tilde{\theta}$ 是 $P_X$ 最优值 $\theta$ 的下界。

分支限界算法的步骤如下：

算法 7：分支限界算法

• 输入 ：优化问题 $P_{