45、椭圆曲线与相关算法基础

椭圆曲线与相关算法基础

1. Miller - Rabin素性测试算法

Miller - Rabin素性测试是一种概率多项式时间算法，用于判断一个给定的数是否为素数。以下是该算法的代码实现：

def MillerRabinTest(n, k):
    if n % 2 == 0:
        return False
    m = (n - 1) // 2
    t = 1
    while m % 2 == 0:
        m = m // 2
        t = t + 1
    for i in range(1, k + 1):
        a = random.randint(2, n - 2)
        u = pow(a, m, n)
        if u != 1:
            j = 1
            while u != -1 and j < t:
                u = pow(u, 2, n)
                j = j + 1
            if u != -1:
                return False
    return True

算法步骤解释 ：
1. 检查偶数 ：如果 n 是偶数，直接返回 False ，因为偶数（除了2）都不是素数。
2. 分解 n - 1 ：将 n - 1 表示为$2^t \times m$的形式，其中 m 是奇数。
3. 多次随机测试 ：进行 k 次随机测试，每次选择一个随机数 a 在 2 到 n - 2 之间。
4. 计算 u ：计算$u = a^m \bmod n$。
5. 检查 u 的值 ：如果 u 不等于 1 ，则进行循环检查，直到 u 等于 -1 或者循环次数达到 t 。
6. 返回结果 ：如果在任何一次测试中发现 n 不是素数，则返回 False ；否则返回 True 。

注意事项 ：
- 如果$\gcd(a, n) > 1$，则 a 和 u 在模 n 下不是单位元，算法会返回正确的结果 False ，因此不需要显式检查 n 和 a 是否互质。
- 该算法只能以高概率判断一个数是否为素数。确定性的多项式时间素性判定问题已由Agrawal、Kayal和Saxena解决，他们的算法称为AKS素性测试，但该算法在实际应用中速度太慢。

2. 椭圆曲线基础

在密码学中，我们通常使用定义在有限域$\mathbb{F}_q$上的椭圆曲线，其中$q = p$是一个大素数（素域）或者$q = 2^l$是2的幂（二元域）。

2.1 代数闭域

一个域$k$称为代数闭域，如果$k[X]$中每个次数$\geq 1$的多项式在$k$中都有一个零点。每个域$k$都可以嵌入到它的代数闭包$\overline{k}$中，$\overline{k}$是代数闭域，且$k$是$\overline{k}$的子域，即$k \subseteq \overline{k}$。例如，$\mathbb{C}$是$\mathbb{R}$的代数闭包，有限域$\mathbb{F} q$的代数闭包是它所有有限扩域的并集：$\overline{\mathbb{F}_q} = \bigcup {n = 1}^{\infty} \mathbb{F}_{q^n}$。

2.2 仿射平面和平面曲线

• 仿射平面 ：域$k$上的仿射平面记为$\mathbb{A}^2(k) = {(x, y) | x, y \in k}$。
• 平面曲线 ：设$k[X, Y]$是变量$X$和$Y$的多项式环，一个非零多项式$F(X, Y) \in k[X, Y]$的零点集$C = {(x, y) \in \mathbb{A}^2(k) | F(x, y) = 0}$称为定义在$k$上的（平面）仿射曲线。$F = 0$是$C$的定义方程，定义$C$的最小次数方程称为$C$的最小多项式，$C$的次数是其最小多项式的次数。$C(k) = {(x, y) \in C | x, y \in k}$称为$C$的$k$ - 有理点集。

示例 ：曲线$C$由$Y^2 = X(X - 1)(X + 1) \in \mathbb{R}[X]$定义，它是一个次数为3的椭圆曲线，其$\mathbb{R}$ - 有理点集$C(\mathbb{R})$通常称为实点集。

流程图 ：

graph TD;
    A[开始] --> B[定义多项式F(X,Y)];
    B --> C[计算零点集C];
    C --> D[确定最小多项式];
    D --> E[计算曲线次数];
    E --> F[计算k - 有理点集C(k)];
    F --> G[结束];

3. 射影平面和射影曲线

为了给椭圆曲线上的点加法提供一致和完整的定义，需要引入射影平面的概念。

3.1 射影平面的定义

域$k$上的射影平面是$\mathbb{k}^3$中的方向集：$\mathbb{P}^2(k) = \mathbb{k}^3 \setminus {(0, 0, 0)} / \sim$，其中$\sim$是向量$(x, y, z)$上的等价关系：$(x, y, z) \sim (x’, y’, z’)$当且仅当存在$\lambda \in k^*$使得$(x, y, z) = \lambda \cdot (x’, y’, z’)$。$(x, y, z)$的等价类记为$[x, y, z]$，称为$\mathbb{P}^2(k)$中一个点的齐次坐标系统。

3.2 仿射平面与射影平面的关系

通过映射$\mathbb{A}^2(k) \to \mathbb{P}^2(k), (x, y) \mapsto [x, y, 1]$，仿射平面$\mathbb{A}^2(k)$成为射影平面的一部分，其像为${[x, y, z] \in \mathbb{P}^2(k) | z \neq 0}$，即射影平面中直线$Z = 0$的补集。

3.3 射影曲线的定义

一个子集$C \subset \mathbb{P}^2(k)$称为定义在$k$上的（平面）射影曲线，如果存在一个非零齐次多项式$F(X, Y, Z) \in k[X, Y, Z]$使得$C = {[x, y, z] \in \mathbb{P}^2(k) | F(x, y, z) = 0}$。$F = 0$是$C$的定义方程，定义$C$的最小次数方程称为$C$的最小多项式，$C$的次数是其最小多项式的次数。$C(k) = {[x, y, z] \in C | x, y, z \in k}$称为$C$的$k$ - 有理点集。

表格：仿射曲线与射影曲线的对应关系
| 类型 | 定义 | 相关操作 |
| ---- | ---- | ---- |
| 仿射曲线 | $C \subset \mathbb{A}^2(k)$，由非零多项式$F(X, Y)$定义 | 可通过齐次化得到射影曲线 |
| 射影曲线 | $C \subset \mathbb{P}^2(k)$，由非零齐次多项式$F(X, Y, Z)$定义 | 可通过去齐次化得到仿射曲线 |

4. 曲线与直线的交点

曲线和直线可能在无穷远处相交，因此需要使用齐次坐标。一般来说，一个次数为$m$的曲线$C$和一条直线有$m$个交点，如果交点个数少于$m$，则有些交点需要按重数计算。

引理 ：设$F(X, Y) \in k[X, Y]$是一个次数为$m > 0$的齐次多项式，则在$\overline{k}$上，$F(X, Y)$可以分解为线性因子：$F(X, Y) = \prod_{i = 1}^{m} (a_iX - b_iY)$，其中$a_i, b_i \in \overline{k}$。

定义 ：设$L \subset \mathbb{P}^2(k)$是一条直线，$C$是一个射影曲线，$P = uP_1 + vP_2$是$L$和$C$的交点，则$C$和$L$在点$P$处的交点重数$i_P(C, L)$是齐次多项式$G(U, V) = F(Ux_1 + Vx_2, Uy_1 + Vy_2, Uz_1 + Vz_2)$的零点$[u, v]$的阶。

命题 ：设$C$是一个次数为$m$的射影曲线，$L$是一条射影直线，且$L \nsubseteq C$，则$\sum_{P \in C \cap L} i_P(C, L) = m$。

5. 正则点和奇点

大多数射影曲线上的点是正则点，奇点是例外。我们使用最小多项式$F \in k[X, Y, Z]$的偏导数$\frac{\partial F}{\partial X}, \frac{\partial F}{\partial Y}, \frac{\partial F}{\partial Z}$（记为$F_X, F_Y, F_Z$）来定义奇点。

定义 ：设$C \subset \mathbb{P}^2(k)$是一个射影曲线，$P \in C$，如果$F_X(P) = F_Y(P) = F_Z(P) = 0$，则称$C$在点$P$处是奇异的（$P$是$C$的奇点）；否则$P$是$C$的正则点。如果$C$上所有点都是正则点，则称$C$是正则曲线。

示例 ：设$C$由$F(X, Y, Z) = Y^2Z - X^3 - X^2Z$定义，则$F_X(X, Y, Z) = -3X^2 - 2XZ$，$F_Y(X, Y, Z) = 2YZ$，$F_Z(X, Y, Z) = Y^2 - X^2$。$C$在$[0, 0, 1]$处是奇异的。

切线和拐点 ：
- 切线 ：设$C$是一个射影曲线，$P$是$C$的正则点，$L$是过$P$的直线，如果$i_P(C, L) \geq 2$，则称$L$是$C$在点$P$处的切线。
- 拐点 ：如果$i_P(C, L) \geq 3$，则称$P$是$C$的拐点，$L$是$C$在点$P$处的挠切线。

命题 ：设$C \subset \mathbb{P}^2(k)$是一个射影曲线，$P = [x, y, z]$是$C$的正则点，则$C$在点$P$处有且仅有一条切线。
- 在仿射平面中（$z \neq 0$），切线由$F_X(x, y, 1)(X - x) + F_Y(x, y, 1)(Y - y) = 0$定义。
- 在射影平面中，切线由$F_X(P)X + F_Y(P)Y + F_Z(P)Z = 0$定义。

椭圆曲线与相关算法基础

6. 椭圆曲线在密码学中的重要性

椭圆曲线在密码学中具有核心地位，其关键在于椭圆曲线上的点构成阿贝尔群，这使得点之间可以进行加法和减法运算，为密码学算法提供了坚实的数学基础。

6.1 椭圆曲线密码学的优势

• 安全性高 ：与传统的基于大整数分解或离散对数问题的密码系统相比，椭圆曲线密码系统在相同的安全级别下，所需的密钥长度更短。例如，256 位的椭圆曲线密钥提供的安全性与 3072 位的 RSA 密钥相当。
• 计算效率高 ：由于密钥长度较短，椭圆曲线密码系统在加密、解密和签名验证等操作上的计算量相对较小，能够提高系统的处理速度和效率。

6.2 椭圆曲线密码学的应用场景

• 数字签名 ：椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）被广泛应用于区块链、数字货币等领域，用于验证交易的真实性和完整性。
• 密钥交换 ：椭圆曲线迪菲 - 赫尔曼密钥交换（ECDH）协议允许双方在不安全的信道上安全地交换密钥，为后续的加密通信提供基础。

表格：椭圆曲线密码学与传统密码学的比较
| 密码系统类型 | 密钥长度 | 安全性 | 计算效率 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 椭圆曲线密码系统 | 较短（如 256 位） | 高 | 高 |
| 传统密码系统（如 RSA） | 较长（如 3072 位） | 高 | 低 |

7. 椭圆曲线密码学的实现步骤

在实际应用中，实现椭圆曲线密码学通常需要以下步骤：

7.1 选择椭圆曲线

选择合适的椭圆曲线是关键步骤之一。常见的椭圆曲线包括 NIST 推荐的曲线（如 P - 256、P - 384 等）和 Brainpool 曲线。选择时需要考虑曲线的安全性、性能和兼容性等因素。

7.2 生成密钥对

• 私钥 ：随机选择一个大整数作为私钥。
• 公钥 ：通过椭圆曲线的点乘法运算，将私钥与曲线的基点相乘得到公钥。

7.3 加密和解密操作

• 加密 ：使用接收方的公钥对明文进行加密，生成密文。
• 解密 ：使用接收方的私钥对密文进行解密，恢复出明文。

7.4 数字签名和验证

• 签名 ：使用发送方的私钥对消息进行签名，生成签名值。
• 验证 ：使用发送方的公钥对签名值进行验证，确保消息的真实性和完整性。

流程图 ：

graph TD;
    A[选择椭圆曲线] --> B[生成密钥对];
    B --> C[加密操作];
    C --> D[解密操作];
    B --> E[数字签名];
    E --> F[签名验证];

8. 椭圆曲线密码学的挑战与发展趋势

尽管椭圆曲线密码学具有诸多优势，但也面临一些挑战，同时也呈现出一些发展趋势。

8.1 挑战

• 量子计算威胁 ：量子计算机的发展可能对椭圆曲线密码学的安全性构成威胁。量子算法（如肖尔算法）可以在多项式时间内解决椭圆曲线上的离散对数问题，从而破解现有的椭圆曲线密码系统。
• 标准化和兼容性问题 ：不同的应用场景和标准组织可能推荐不同的椭圆曲线，导致在实际应用中存在标准化和兼容性问题。

8.2 发展趋势

• 后量子密码学 ：为了应对量子计算的威胁，研究人员正在积极探索后量子密码学，包括基于格、编码、多变量等数学问题的密码系统。
• 同态加密 ：同态加密允许在密文上进行计算，而无需解密。椭圆曲线密码学可以与同态加密相结合，实现更安全、高效的隐私保护计算。

9. 总结

椭圆曲线及其相关算法在密码学领域具有重要的地位和广泛的应用。从 Miller - Rabin 素性测试算法到椭圆曲线的基本概念，再到椭圆曲线密码学的实现和发展，我们对这一领域有了更深入的了解。

• 核心概念回顾
  • Miller - Rabin 素性测试是一种概率多项式时间算法，用于判断一个数是否为素数。
  • 椭圆曲线定义在有限域上，通过引入射影平面和无穷远点，为点的加法提供了完整的定义。
  • 椭圆曲线上的点构成阿贝尔群，这是椭圆曲线密码学的基础。
• 应用前景展望
  • 随着信息技术的不断发展，椭圆曲线密码学将在更多领域得到应用，如物联网、云计算、人工智能等。
  • 面对量子计算的挑战，后量子密码学和同态加密等新技术将为椭圆曲线密码学的发展带来新的机遇和挑战。

通过对椭圆曲线及其相关算法的深入研究和应用，我们可以构建更加安全、高效的信息系统，为数字时代的发展提供有力的保障。