40、无状态签名方案：Cramer - Shoup签名方案解析

最新推荐文章于 2025-09-19 13:33:39 发布

秃然暴富

最新推荐文章于 2025-09-19 13:33:39 发布

阅读量36

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：探索信息安全与密码学的奥秘文章标签： Cramer-Shoup签名方案无状态签名强RSA假设

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/vscode6remote/article/details/149873656

探索信息安全与密码学的奥秘专栏收录该内容

49 篇文章 ¥499.90

订阅专栏¥69.90

会员秒杀 ¥9.9 重磅福利

超级会员免费看

无状态签名方案：Cramer - Shoup签名方案解析

在数字签名领域，安全性和效率是两个至关重要的因素。传统的基于认证树的签名方案存在状态依赖问题，而Cramer - Shoup提出的无状态数字签名方案为解决这一问题提供了有效的途径。本文将详细介绍Cramer - Shoup签名方案的原理、安全性证明以及相关的技术细节。

1. 背景与动机

传统的基于认证树的签名方案，如GMR签名算法，不是无状态的。签名算法需要存储认证树的当前状态，该状态依赖于已经生成的签名，并且下一个签名也依赖于这个状态。为了克服这一问题，Cramer和Shoup引入了一种可证明安全且高效的无状态数字签名方案。

如果使用具有更大分支度的认证树代替二叉树，可以显著减少签名的大小和生成、验证签名所需的计算次数。例如，Dwork和Naor以及Cramer和Damgård开发的签名方案在RSA假设成立的情况下，能够有效抵抗自适应选择消息攻击。

2. 相关定义与假设

Sophie Germain素数 ：一个素数 $p$ 被称为Sophie Germain素数，如果 $2p + 1$ 也是素数。在Cramer - Shoup签名方案中，需要假设存在足够多的Sophie Germain素数，以确保密钥能够在多项式时间内生成。
强RSA假设 ：设 $I := {n \in N | n = pq, p \neq q$ 为素数, $|p| = |q|}$ 是RSA模数的集合，$I_k := {n \in I | n = pq, |p| = |q| = k}$。对于每个正多项式 $Q$ 和每个概率多项式算法 $A$，在输入 $n \in I$ 和 $y \in Z_n^ $ 时输出一个指数 $e > 1$ 和一个 $x \in Z_n^ $，存在一个 $k_0 \in N$，使得对于 $k \geq k_0$，有 $prob(x^e = y : n \overset{u}{\leftarrow} I_k, y \overset{u}{\leftarrow} Z_n^*, (e, x) \leftarrow A(n, y)) \leq \frac{1}{Q(k)}$。强RSA假设蕴含了经典的RSA假设。

3. Cramer - Shoup签名方案

3.1 算法GenPrime

在密钥生成和签名过程中，使用了一个概率多项式算法GenPrime(1^k)，它具有以下性质：
1. 输入 $1^k$ 时，输出一个 $k$ 位的素数。
2. 如果GenPrime(1^k)执行 $R(k)$ 次（$R$ 为正多项式），则生成的任意两个素数相等的概率可以忽略不计。

3.2 方案设置

选择两个安全参数 $k$ 和 $l$，满足 $k^{1/N} < l + 1 < k - 1$，其中 $N$ 是一个大于1的常数。然后选择一个抗碰撞的哈希函数 $h : {0, 1}^* \to {0, 1}^l$。

3.3 密钥生成

每个用户Alice生成她的公钥和私钥的步骤如下：
1. 随机选择一个模数 $n \overset{u}{\leftarrow} I_{SG,k}$，即随机均匀地选择长度为 $k - 1$ 的Sophie Germain素数 $\tilde{p}$ 和 $\tilde{q}$，并设置 $n := pq$，其中 $p := 2\tilde{p} + 1$，$q := 2\tilde{q} + 1$。
2. 随机选择 $g \overset{u}{\leftarrow} QR_n$ 和 $x \overset{u}{\leftarrow} QR_n$，并生成一个 $(l + 1)$ 位的素数 $\tilde{e} := GenPrime(1^{l + 1})$。
3. $(n, g, x, \tilde{e})$ 是公钥，$(p, q)$ 是私钥。

使用Sophie Germain素数确保了 $QR_n$ 的阶 $\frac{p - 1}{2} \cdot \frac{q - 1}{2} = \tilde{p} \cdot \tilde{q}$ 是不同素数的乘积，因此 $QR_n$ 是一个循环群。

3.4 签名过程

可以对任意消息 $m \in {0, 1}^ $ 进行签名。签名步骤如下：
1. 生成一个 $(l + 1)$ 位的素数 $e := GenPrime(1^{l + 1})$，并随机选择 $\tilde{y} \overset{u}{\leftarrow} QR_n$。
2. 计算 $\tilde{x} := \tilde{y}^{\tilde{e}} \cdot g^{-h(m)}$。
3. 计算 $y := (x \cdot g^{h(\tilde{x})})^{e^{-1}}$，其中 $e^{-1}$ 是 $e$ 在 $Z_{\varphi(n)}^ $ 中的逆元。
4. 消息 $m$ 的签名 $\sigma$ 是 $(e, y, \tilde{y})$。

签名是一个概率算法，因为素数 $e$ 是概率生成的，并且随机选择了一个二次剩余 $\tilde{y}$。

3.5 验证过程

接收者Bob验证Alice对消息 $m$ 的签名 $\sigma = (e, y, \tilde{y})$ 的步骤如下：
1. 检查 $e$ 是否是一个奇数的 $(l + 1)$ 位数字，并且不被 $\tilde{e}$ 整除。
2. 计算 $\tilde{x} := \tilde{y}^{\tilde{e}} \cdot g^{-h(m)}$。
3. 检查 $x = y^e \cdot g^{-h(\tilde{x})}$ 是否成立。如果两个检查都通过，则接受签名；否则，拒绝签名。

验证算法不验证 $e$ 是否为素数，因为素性测试会显著降低验证效率，并且方案的安全性并不要求这一点。

4. 安全性证明

定理表明，如果强RSA假设成立，存在足够多的Sophie Germain素数，并且哈希函数族 $H$ 是抗碰撞的，那么Cramer - Shoup签名方案能够抵抗自适应选择消息攻击。

证明采用反证法。假设存在一个概率多项式伪造算法Forger，它自适应地请求 $t$ 个消息的签名，并以不可忽略的概率产生有效的伪造签名。我们将定义一个攻击算法 $A$，它在输入 $n \in I_{SG}$ 和 $z \in Z_n^*$ 时，能够成功计算 $z$ 模 $n$ 的 $r$ 次根，这与强RSA假设矛盾。

攻击算法 $A$ 的工作流程如下：
1. 随机均匀地选择第二个安全参数 $l$，并随机选择一个哈希函数 $h \in H_l$。
2. 巧妙地生成公钥 $(n, g, x, \tilde{e})$ 中缺失的元素 $g$、$x$ 和 $\tilde{e}$。
3. 与伪造者Forger交互，以获得公钥 $(n, g, x, \tilde{e})$ 的伪造签名 $(m, \sigma)$。由于不知道 $n$ 的素因子，Forger无法从原始签名算法获取他请求的签名，而是从 $A$ 处获取。$A$ 能够在不知道 $n$ 的素因子的情况下，为Forger提供有效的签名。
4. 利用伪造签名 $(m, \sigma)$，计算 $z$ 模 $n$ 的 $r$ 次根，其中 $r > 1$。

伪造签名分为三种类型：
1. 类型1 ：对于某些 $i$，$1 \leq i \leq t$，$e_i$ 整除 $e$ 且 $\tilde{x} = \tilde{x}_i$。
2. 类型2 ：对于某些 $i$，$1 \leq i \leq t$，$e_i$ 整除 $e$ 且 $\tilde{x} \neq \tilde{x}_i$。
3. 类型3 ：对于所有 $i$，$1 \leq i \leq t$，$e_i$ 不整除 $e$。

下面是类型1的证明过程：
- 生成公钥 ：
1. 生成 $(l + 1)$ 位素数 $e_i := GenPrime(1^{l + 1})$，$1 \leq i \leq t$。设置 $g := z^{2 \prod_{1 \leq i \leq t} e_i}$。
2. 随机选择 $w \overset{u}{\leftarrow} Z_n^ $，并设置 $x := w^{2 \prod_{1 \leq i \leq t} e_i}$。
3. 设置 $\tilde{e} := GenPrime(1^{l + 1})$。
- 生成签名 ：对于第 $i$ 个消息 $m_i$，$A$ 随机选择 $\tilde{y}_i \overset{u}{\leftarrow} QR_n$，并计算 $\tilde{x}_i := \tilde{y}_i^{\tilde{e}} \cdot g^{-h(m_i)}$ 和 $y_i := (x \cdot g^{h(\tilde{x}_i)})^{e_i^{-1}}$。
- 计算根 *：如果伪造签名通过验证，且 $h(m) \neq h(m_j)$（由于 $H$ 是抗碰撞的，这种情况几乎肯定会发生），则可以得到方程 $\tilde{z}^{\tilde{e}} = g^a = z^{2a \prod_{1 \leq i \leq t} e_i}$，其中 $0 < a < 2^l$。由于 $\tilde{e}$ 是 $(l + 1)$ 位素数，$\tilde{e}$ 不整除 $a$，并且 $\tilde{e}$ 和 $e_i$ 是由GenPrime选择的，因此 $\tilde{e} \neq e_i$，$1 \leq i \leq t$ 的概率很高。在这种情况下，$A$ 可以使用引理11.13计算 $z^{\tilde{e}^{-1}}$。

通过计算 $A$ 成功的概率，可以证明这与强RSA假设矛盾。

5. 总结

Cramer - Shoup签名方案是一种可证明安全且高效的无状态数字签名方案。它基于强RSA假设和Sophie Germain素数的性质，能够有效抵抗自适应选择消息攻击。通过巧妙的设计和模拟合法签名者的方法，证明了该方案的安全性。

下面是Cramer - Shoup签名方案的流程图：

graph TD;
    A[密钥生成] --> B[选择模数n];
    B --> C[选择g和x];
    C --> D[生成素数e];
    D --> E[公钥(n,g,x,e)，私钥(p,q)];
    F[签名] --> G[生成素数e];
    G --> H[选择y];
    H --> I[计算x];
    I --> J[计算y];
    J --> K[签名(e,y,y)];
    L[验证] --> M[检查e];
    M --> N[计算x];
    N --> O[检查等式];
    O --> P[接受或拒绝];

通过以上的介绍，我们可以看到Cramer - Shoup签名方案在数字签名领域具有重要的应用价值。它不仅提供了高安全性，还具有良好的效率和无状态的特性。在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的安全参数和哈希函数，以确保签名方案的安全性和性能。

6. 相关练习

为了更好地理解和掌握Cramer - Shoup签名方案以及相关的数字签名技术，下面给出一些练习题：
1. 考虑第11.2节中抗碰撞哈希函数的构造，解释如何通过应用Merkle的元方法避免消息的前缀自由编码。
2. 设 $I = (I_k)_{k \in N}$ 是具有安全参数 $k$ 的密钥集，$H = (h_i : {0, 1}^ \to {0, 1}^{g(k(i))}) {i \in I}$ 是一个抗碰撞哈希函数族。设 $l_i \geq g(k(i)) + k(i)$ 对于所有 $i \in I$，证明 $(h_i : {0, 1}^{\leq l_i} \to {0, 1}^{g(k(i))}) {i \in I}$ 是一个单向函数族。
3. 第3章介绍了RSA和ElGamal签名方案，并讨论了针对基本方案（未对消息应用哈希函数）的各种攻击。根据第11.1节对这些攻击及其成功级别进行分类。
4. 考虑Ong、Schnorr和Shamir提出的签名方案，证明：
- 通过仅密钥攻击检索秘密密钥等价于对 $n$ 进行因式分解。
- 该方案可以通过仅密钥攻击进行存在性伪造。
- 随机选择的一对 $(s_1, s_2)$ 是给定消息 $m$ 的签名的概率可以忽略不计。
- 说明攻击者在仅密钥攻击中为其选择的消息伪造签名时需要解决的问题。
5. 设 $I = (I_k) {k \in N}$ 是具有安全参数 $k$ 的密钥集，$f_0 = (f {0,i} : D_i \to D_i) {i \in I}$，$f_1 = (f {1,i} : D_i \to D_i)_{i \in I}$ 是一对无爪陷门置换。研究以下签名方案的安全性：
- 如果消息 $m$ 和 $m’$ 不同，则可以从 $\sigma(i, x, m)$ 和 $\sigma(i, x, m’)$ 计算 $f_0$ 和 $f_1$ 的爪。
- 该方案可以抵抗仅密钥攻击的存在性伪造。
- 假设消息空间具有多项式基数，证明该方案在作为一次性签名方案使用时可以抵抗自适应选择消息攻击。
- 如果该方案用于对任意消息 ${0, 1}^ $ 进行签名，在安全性证明中会遇到什么问题？
6. 考虑与练习5相同的设置，假设消息的生成可以由一个概率多项式算法 $M(i)$ 统一建模。证明：
- 为了防止已知签名攻击的伪造，验证过程需要检查签名 $(s, \hat{m})$ 中的位串 $\hat{m}$ 是否符合前缀自由编码。给出完整的验证条件。
- 没有人可以通过已知签名攻击进行存在性伪造签名。

通过完成这些练习，可以加深对数字签名方案的理解和应用能力。

无状态签名方案：Cramer - Shoup签名方案解析

7. 类型2和类型3伪造情况的证明

7.1 类型2伪造情况证明

当伪造者是类型2时，我们可以假设满足 $e_j | e$ 且 $\tilde{x} \neq \tilde{x}_j$ 的 $j$ 是固定的。我们可以通过迭代多项式数量的 $j$ 情况来猜测正确的 $j$。

攻击算法 $A$ 生成公钥和签名的步骤如下：
1. 生成公钥 ：
- 生成 $(l + 1)$ 位素数 $e_i := GenPrime(1^{l + 1})$，$1 \leq i \leq t$，再选择一个素数 $\tilde{e} := GenPrime(1^{l + 1})$。设置 $g := z^{2\tilde{e} \prod_{i \neq j} e_i}$。
- 随机选择 $w \overset{u}{\leftarrow} Z_n^ $ 和 $u \overset{u}{\leftarrow} Z_n^ $。设置 $y_j := w^{2 \prod_{i \neq j} e_i}$ 和 $\tilde{x}_j := u^{2\tilde{e}}$。
- 令 $x := y_j^{e_j} \cdot g^{-h(\tilde{x}_j)}$。由于 $z$、$w$ 和 $u$ 是均匀分布的，且指数 $\tilde{e}$ 和 $e_i$ 与 $\varphi(n)$ 互质，所以 $g$ 和 $x$ 是均匀分布的二次剩余。
2. 生成签名 ：
- 对于 $i \neq j$，$A$ 随机选择 $\tilde{y}_i \overset{u}{\leftarrow} QR_n$，计算 $\tilde{x}_i := \tilde{y}_i^{\tilde{e}} \cdot g^{-h(m_i)}$ 和 $y_i := (x \cdot g^{h(\tilde{x}_i)})^{e_i^{-1}}$。因为 $A$ 知道 $g$ 和 $x$ 的 $e_i$ 次根，所以可以轻松计算 $y_i$。
- 对于 $i = j$，$y_j$ 已经计算好，$A$ 可以计算 $\tilde{y}_j = (\tilde{x}_j g^{h(m_j)})^{\tilde{e}^{-1}}$，因为它知道 $\tilde{x}_j$ 和 $g$ 的 $\tilde{e}$ 次根。且 $\tilde{y}_j$ 是均匀分布的。

如果伪造签名通过验证，即 $e_j$ 整除 $e$（$e = e_j \cdot f$）且 $\tilde{y}^{\tilde{e}} \cdot g^{-h(m)} = \tilde{x} \neq \tilde{x} j$，我们有 $y^e = (y^f)^{e_j} = x \cdot g^{h(\tilde{x})}$ 和 $y_j^{e_j} = x \cdot g^{h(\tilde{x}_j)}$。若 $h(\tilde{x}) \neq h(\tilde{x}_j)$（由于 $H$ 是抗碰撞的，几乎肯定成立），通过两式相除得到 $\tilde{z}^{e_j} = g^a = z^{2a\tilde{e} \prod {i \neq j} e_i}$，其中 $0 < a < 2^l$。因为所有 $(l + 1)$ 位素数由 $GenPrime(1^{l + 1})$ 选择，$e_j$ 不等于 $\tilde{e}$ 或其他 $e_i$（$i \neq j$）的概率可忽略不计。若 $e_j$ 不同，则可通过引理11.13计算 $z^{e_j^{-1}}$。

$A$ 成功计算根的条件是伪造者产生有效签名、$h(\tilde{x}) \neq h(\tilde{x}_j)$ 且 $e_j$ 不同于 $\tilde{e}$ 和其他 $e_i$（$i \neq j$）。由于 $A$ 完美模拟了密钥选择和签名生成过程，伪造者与模拟签名者交互时的成功概率与和合法签名者交互时相同。通过计算概率，可得出与强RSA假设矛盾的结果。

7.2 类型3伪造情况证明

当伪造者是类型3时，攻击算法 $A$ 完成公钥和生成签名的步骤如下：
1. 生成公钥 ：
- 生成 $(l + 1)$ 位素数 $\tilde{e}$ 和 $e_i$（$1 \leq i \leq t$），设置 $g := z^{2\tilde{e} \prod_{i} e_i}$。
- 选择 $a \overset{u}{\leftarrow} {1, \ldots, n^2}$，设置 $x := g^a$。
2. 生成签名 ：对于消息 $m_i$（$1 \leq i \leq t$），$A$ 选择 $\tilde{y}_i \overset{u}{\leftarrow} QR_n$，计算 $\tilde{x}_i = \tilde{y}_i^{e_i} \cdot g^{-h(m_i)}$ 和 $y_i = (x \cdot g^{h(\tilde{x}_i)})^{e_i^{-1}}$。由于构造原因，可直接得到 $g$ 和 $x$ 的 $e_i$ 次根。

伪造者输出类型3的伪造签名 $\sigma = (e, y, \tilde{y})$ 用于消息 $m \notin {m_1, \ldots, m_t}$。若签名有效，有 $y^e = x \cdot g^{h(\tilde{x})} = z^f$，其中 $f = 2\tilde{e} \prod_{i} e_i \cdot (a + h(\tilde{x}))$，$\tilde{x} = \tilde{y}^{\tilde{e}} \cdot g^{-h(m)}$。

为计算 $z$ 的根，令 $d = gcd(e, f)$。若 $d < e$（即 $e$ 不整除 $f$），则 $r := e/d > 1$，可通过引理11.13计算 $z^{r^{-1}}$。

下面分析 $A$ 成功的概率：
- 密钥分布 ：由于 $\tilde{e}$ 和 $e_i$ 是 $(l + 1)$ 位素数，$l + 1 < k - 1$，所以 $\tilde{e} \prod_{i} e_i$ 与 $\varphi(n) = 4\tilde{p}\tilde{q}$ 互质。$z$ 均匀选择自 $Z_n^ $，所以 $g$ 在 $QR_n$ 中均匀分布。$a$ 均匀选择自 ${1, \ldots, n^2}$，$x = g^a$ 的分布在 $QR_n$ 中与均匀分布多项式接近。
- 伪造者成功概率 ：$A$ 几乎完美模拟了合法签名者，伪造者与模拟签名者交互时产生有效签名的概率与和合法签名者交互时不能被多项式区分，即伪造者在 $A$ 的步骤3中以概率 $\geq \frac{1}{Q(k)}$（$Q$ 为正多项式）产生有效签名。
- $e$ 不整除 $f$ 的概率 *：假设 $h$、$n$、$g$、$x$、$\tilde{e}$、$m$ 和 $\sigma$ 固定，令 $s$ 是整除 $e$ 的素数（$s > 2$，$s \neq \tilde{e}$ 且 $s \neq e_i$）。$a + h(\tilde{x}) = b\tilde{p}\tilde{q} + c + h(\tilde{x}) = L(b)$（$L$ 为线性函数），$b$ 模 $s$ 的分布与均匀分布多项式接近，$s$ 不整除 $\tilde{p}\tilde{q}$，所以 $L(b) \equiv 0 \pmod{s}$ 的概率接近 $\frac{1}{s}$，$s$ 不整除 $a + h(\tilde{x})$ 的概率 $\geq 1 - \frac{1}{s - 1} \geq \frac{1}{2}$，即 $e$ 不整除 $f$ 的概率 $\geq \frac{1}{2}$。

综上，类型3的证明完成，整个Cramer - Shoup签名方案安全性定理的证明结束。

8. 总结与展望

Cramer - Shoup签名方案是数字签名领域的一个重要成果，它解决了传统基于认证树签名方案的状态依赖问题，提供了一种可证明安全且高效的无状态签名解决方案。该方案基于强RSA假设和Sophie Germain素数的性质，在存在足够多的Sophie Germain素数和抗碰撞哈希函数的条件下，能够有效抵抗自适应选择消息攻击。

在实际应用中，Cramer - Shoup签名方案具有广泛的潜力。例如，在需要频繁进行签名操作且对签名状态管理有严格要求的场景中，该方案的无状态特性可以大大简化系统的设计和实现。同时，其安全性证明方法也为其他签名方案的设计和分析提供了重要的参考。

然而，该方案也存在一些局限性。例如，它依赖于强RSA假设和Sophie Germain素数的存在性，虽然目前有一些启发式证据支持这些假设，但缺乏严格的数学证明。此外，方案的实现可能需要一定的计算资源，特别是在密钥生成和签名验证过程中。

未来的研究可以从以下几个方面展开：
1. 优化算法实现 ：研究如何更高效地实现Cramer - Shoup签名方案，减少计算开销和存储需求。
2. 放松假设条件 ：探索是否可以在更弱的假设条件下实现类似的安全签名方案，提高方案的通用性和可靠性。
3. 结合其他技术 ：将Cramer - Shoup签名方案与其他密码学技术（如零知识证明、同态加密等）相结合，开发出更强大的密码学应用。

下面是Cramer - Shoup签名方案安全性证明的流程图：

graph TD;
    A[假设存在伪造者Forger] --> B[定义攻击算法A];
    B --> C[选择安全参数l和哈希函数h];
    C --> D[生成公钥元素g,x,e];
    D --> E[与Forger交互获取伪造签名];
    E --> F{伪造签名类型};
    F -->|类型1| G1[计算根并证明矛盾];
    F -->|类型2| G2[计算根并证明矛盾];
    F -->|类型3| G3[计算根并证明矛盾];

通过对Cramer - Shoup签名方案的深入研究，我们不仅可以更好地理解数字签名的安全性和效率问题，还可以为未来密码学技术的发展提供有益的思路和方法。

9. 练习题解答思路（部分）

9.1 练习1解答思路

在第11.2节抗碰撞哈希函数的构造中，Merkle的元方法可以通过将消息分块处理，利用哈希函数的迭代特性，避免消息的前缀自由编码。具体来说，可以将消息分成固定长度的块，对每个块进行哈希计算，然后将这些哈希结果组合起来进行进一步的哈希。这样可以在不进行前缀自由编码的情况下，保证哈希函数的抗碰撞性。

9.2 练习2解答思路

要证明 $(h_i : {0, 1}^{\leq l_i} \to {0, 1}^{g(k(i))})_{i \in I}$ 是一个单向函数族，需要根据单向函数的定义，证明对于任意的概率多项式算法，在给定哈希值的情况下，难以找到原像。由于 $h_i$ 是抗碰撞哈希函数，且 $l_i \geq g(k(i)) + k(i)$，可以利用抗碰撞性和哈希函数的性质来证明其单向性。