35、最高有效位的峰旁瓣电平及Z4序列族的部分相关性研究

最高有效位的峰旁瓣电平及Z4序列族的部分相关性研究

1. 伽罗瓦环上的多项式

在研究中，我们定义伽罗瓦环 $R = GR(2^l, m)$。对于多项式 $f(X) = \sum_{j=0}^{d} c_j x^j \in R[X]$，若所有偶数 $j$ 对应的 $c_j = 0$，则称该多项式为规范多项式。给定整数 $D \geq 4$，定义集合 $S_D = {f(X) \in R[X] | D_f \leq D, f$ 是规范多项式 $}$，其中 $D_f$ 是 $f$ 的加权次数，且 $S_D$ 是一个 $GR(2^l, m)$ - 模。

下面有几个重要的引理：
- 引理 4.1 ：对于任意整数 $D \geq 4$，有 $|S_D| = 2^{(D - \lfloor D / 2^l \rfloor)m}$，其中 $\lfloor x \rfloor$ 是小于等于 $x$ 的最大整数。
- 引理 4.2 ：设 $f(X) \in R[X]$，$\alpha \in R^ = R \backslash 2R$ 是 $R$ 的一个单位，令 $g(X) = f(\alpha X) \in R[X]$，则 $D_g = D_f$，这里 $D_f$ 和 $D_g$ 分别是多项式 $f(X)$ 和 $g(X)$ 的加权次数。
- 引理 4.3 *：设 $f(X) \in R[X]$ 且 $f \in S_D$ 有非零线性项。若固定 $r$ 个整数 $0 \leq s_1 < s_2 < \cdots < s_r = n - 1$，则 $f(\xi^{s_1}X), f(\xi^{s_2}X), \cdots, f(\xi^{s_r}X)$ 在 $\mathbb{Z}_{2^l}$ 上线性无关，即对于任意整数 $j_1, j_2, \cdots, j_r$，等式 $j_1 f(\xi^{s_1}X) + j_2 f(\xi^{s_2}X) + \cdots + j_r f(\xi^{s_r}X) = 0$ 意味着 $j_1 = j_2 = \cdots = j_r = 0$。

2. 部分周期分布

考虑周期为 $2^m - 1$ 的周期性二进制序列。对于任意整数 $D \geq 4$，设 $f \in S_D$ 是一个有非零线性项的多项式，令 $c_t = MSB(Tr(f(\xi^t)))$，其中 $t = 0, \cdots, n - 2$，$n = 2^m$。

有如下定理：
- 定理 5.1 ：设 $H$ 是一个满足 $0 < k < n - 1$ 的整数，对于任意在该范围内的 $k$，考虑长度为 $H$ 的序列 $c_k, \cdots, c_{k + H - 1}$。对于任意 $\delta \in {0, 1}$，设 $N_{\delta}$ 是 $c_k, \cdots, c_{k + H - 1}$ 中 $\delta$ 的个数，则有 $\left| N_{\delta} - \frac{H}{2} \right| \leq \frac{1}{2} \left( \frac{2^l}{\pi \ln(2)} + 1 \right) \left( \frac{2}{\pi \ln \frac{4(2^m - 1)}{\pi}} + 1 \right) D \sqrt{2^m}$。

3. 非周期自相关

同样考虑周期为 $n - 1$（$n = 2^m$）的周期性序列 $c_0, c_1, \cdots$。
- 定理 6.1 ：对于任意 $\tau$ 满足 $0 < \tau < n - 1$，定义 $\Theta(\tau) = \sum_{t = 0}^{n - 2 - \tau} (-1)^{c_t} (-1)^{c_{t + \tau}}$，其中 $c_t = MSB(Tr(f(\xi^t)))$。当 $l \geq 4$ 时，有 $|\Theta(\tau)| \leq \left( \frac{2^l}{\pi \ln(2)} + 1 \right)^2 \left( \frac{2}{\pi \ln \frac{4(2^m - 1)}{\pi}} + 1 \right) D \sqrt{2^m}$。特别地，对于大的 $n$，$|\Theta(\tau)| = O(\sqrt{n} \log n)$。

4. 部分周期 $r$ - 模式分布

固定 $k \geq 0$ 和 $0 \leq H \leq 2^m - 1$ 使得 $k + H \leq 2^m$。对于正整数 $r$，固定 $0 \leq \tau_1 < \cdots < \tau_r \leq 2^m - 1$，设 $v = (v_1, \cdots, v_r) \in \mathbb{Z} 2^r$，定义 $N(v)$ 为满足 $c {t + \tau_i} = v_i$（$1 \leq i \leq r$）的整数 $t \in [k, k + H - 1]$ 的个数。

有以下结果：
- 引理 7.1 ：对于任意 $r$ 个整数 $0 \leq \tau_1 < \tau_2 < \cdots < \tau_r \leq n - 1$（$n = 2^m$），设 $\Theta(\tau_1, \cdots, \tau_r) = \sum_{t = k}^{k + H - 1} (-1)^{c_{t + \tau_1} + c_{t + \tau_2} + \cdots + c_{t + \tau_r}}$，其中 $c_t = MSB(Tr(f(\xi^t)))$，$f \in S_D$ 有非零线性项，则有 $|\Theta(\tau_1, \cdots, \tau_r)| \leq \left( \frac{2^l}{\pi \ln(2)} + 1 \right)^r \left( \frac{2}{\pi \ln \frac{4(2^m - 1)}{\pi}} + 1 \right) D \sqrt{2^m}$。
- 定理 7.2 ：有界 $\left| N(v) - \frac{H}{2^r} \right| \leq \frac{1}{2^r} \left( \frac{2^l}{\pi \ln(2)} + 1 \right)^r \left( \frac{2}{\pi \ln \frac{4(2^m - 1)}{\pi}} + 1 \right) D \sqrt{2^m}$。

5. Z4 序列族的部分相关性

5.1 引言与背景

码分多址（CDMA）在无线网络中的目标是使无线发射机在存在潜在冲突和干扰的情况下成功交换信息。CDMA 主要有跳频（FH）和直接序列（DS）两种类型。本文主要关注 DS - CDMA 中的“扩频码”，特别是在同步过程中，使用部分周期相关性来获取用于扩展传输信号的码片序列的正确相位。

传统序列族设计方法依赖于伽罗瓦域理论，近年来伽罗瓦环也被用于设计 CDMA 序列族，包括 DS - CDMA 和 FH - CDMA。本文主要研究 DS - CDMA，设计具有良好周期相关性的序列族有 Welch 和 Sidelnikov 界作为衡量标准，同时非周期相关性和部分周期相关性对系统性能也有重要影响。

5.2 环、迹函数与序列

• 伽罗瓦环初步 ：我们将伽罗瓦环记为 $R = GR(4, n)$，它是 $\mathbb{Z}_4$ 的伽罗瓦扩展，定义为 $R = \mathbb{Z}_4[\beta]$，其中 $\beta$ 的乘法阶为 $2^n - 1$，且是一个本原基本不可约多项式的根。环 $R$ 包含 $4^n$ 个元素，且作为 $\mathbb{Z}_4$ - 模，$R = \langle 1, \beta, \cdots, \beta^{n - 1} \rangle$。

每个元素 $c \in R$ 有唯一的 2 - 进表示 $c = a + 2b$，其中 $a, b$ 属于泰希米勒集 $T = {0, 1, \beta, \cdots, \beta^{2^n - 2}}$，映射 $\alpha : c \mapsto a$ 由 $\alpha(c) = c^{2^n}$ 给出。若用 $\mu$ 表示模 2 约简函数并扩展到多项式，有 $\mu(T) = {0, 1, \theta, \cdots, \theta^{2^n - 2}} = GF(2^n)$。$R$ 的可逆元素集记为 $R^ = R \backslash 2R$，其中 $2R$ 是零因子集，是 $R$ 中的唯一极大理想。$R^ $ 中的每个元素有唯一表示 $\beta^r(1 + 2z)$，$0 \leq r \leq 2^n - 2$，$t \in T$。

弗罗贝尼乌斯映射将 $R$ 中的元素 $c = a + 2b$ 映射到 $c^f = a^2 + 2b^2$，它生成 $R$ 在 $\mathbb{Z}_4$ 上的伽罗瓦群，$f^m$ 是恒等映射。迹映射 $T(c) = c + c^f + c^{f^2} + \cdots + c^{f^{m - 1}}$，$c \in R$，迹是满射且具有良好的均匀分布性质。

考虑 $R$ 的一个划分 $X$，由等价关系 $\alpha \cong \beta$ 当且仅当 $\alpha GC = \beta GC$ 定义，$X$ 由以下子集组成：
1. 对应于每个 $a \in G_A$ 的 $2^n$ 个子集：$[a] = a(GC)$。
2. 由真零因子组成的子集：$[e] = \langle 2 \rangle \backslash {0}$。
3. 零子集：$[\infty] = {0}$。

对于 $a, b, c \in X$，定义 $N(a, b; c)$ 为固定元素 $[c]$ 在 $[a] + [b]$ 的凯莱表中出现的次数，该数与所选的 $[c]$ 元素无关，且 $N(a, b; c) = N(b, a; c)$。以下是一些结构常数的值：
|条件|$N(a, b; c)$ 的值|
| ---- | ---- |
|$n(\infty, w; x)$，$w \neq x$|0|
|$n(\infty, w; x)$，$w = x$|1|
|$N(e, e; x)$，$x \neq e, \infty$|0|
|$N(e, e; x)$，$x = \infty$|$2^n - 1$|
|$N(e, e; x)$，$x = e$|$2^n - 2$|
|$N(e, a; x)$，$x = a, e, \infty$ 对于任意 $a \in G_A$|0|
|$N(e, a; x)$，其他情况|1|
|$N(a, b; \infty)$，$b = 3a$ 对于任意 $a, b \in G_A$|$2^{n - 1}$|
|$N(a, b; \infty)$，其他情况|0|
|$N(a, b; e)$，$b = 3a$ 对于任意 $a, b \in G_A$|0|
|$N(a, b; e)$，其他情况|1|
|$n(0, 0; 0)$|0|
|若 $a, b, c, d \in G_A$|$N(a, b; c) = N(ad, bd; cd)$|
|设 $a, b \in G_A$，$N(a, 3a; b)$，$b = a, 3a$|0|
|设 $a, b \in G_A$，$N(a, 3a; b)$，其他情况|1|
|设 $a, b \in G_A$，$a \neq b$，$N(a, a; b)$，$tr(\tilde{b}) = tr(\tilde{a})$|2|
|设 $a, b \in G_A$，$a \neq b$，$N(a, a; b)$，其他情况|0|
|设 $a, b, c \in G_A$，$a \neq b, 3b$，$N(a, b; c)$，$c = a, b$|1|
|设 $a, b, c \in G_A$，$a \neq b, 3b$，$N(a, b; c)$，$c \neq a, b$，$tr(\tilde{a}\tilde{b} + \tilde{a}\tilde{c} + \tilde{b}\tilde{c}) = tr(\tilde{c})$|2|
|设 $a, b, c \in G_A$，$a \neq b, 3b$，$N(a, b; c)$，其他情况|0|

还定义了 $\gamma = (1 + 2a) \in {1 + 2\beta^k, k = \infty, 0, \cdots, 2^n - 2}$ 的迹数为 $tr(\mu(a))$，迹数总是 1 或 0。

• 序列族 A, B 和 C

  • 一个由 $M$ 个长度为 $N$ 的循环不同序列组成的 $q$ - 元序列族定义为向量集合 ${s_1, \cdots, s_M}$，$s_i \in \mathbb{Z} q^N$，$1 \leq i \leq M$。本文限制为四元序列，即 $q = 4$。序列 $i$ 和 $j$ 在相对移位 $\tau$ 处的（周期）相关函数定义为 $C {i, j}(\tau) = \sum_{t = 0}^{N - 1} \omega^{s_i(t \oplus \tau) - s_j(t)}$，其中 $\omega = \exp(2\pi j / 4) = \sqrt{-1}$ 是一个本原四次单位根，$\oplus$ 表示模 $N$ 加法。

  • 族 A ：族 A 由 $M = 2^n + 1$ 个长度为 $N = 2^n - 1$ 的循环不同的 $\mathbb{Z} 4$ 序列组成，这些序列服从一个共同的线性递推关系，其特征多项式是 $\mathbb{Z}_4[x]$ 上的一个本原基本不可约多项式。族 A 中的每个元素 $s_i$ 可表示为 $s_i(t) = T(\gamma \beta^t)$，其中 $\beta$ 是泰希米勒集的生成元，$\gamma \neq 0$。族 A 中的序列可由代表元 $\Gamma {\nu} = {2} \cup G_A$ 枚举，其中 $G_A = {1 + 2\beta^k, k = \infty, 0, \cdots, 2^n - 2}$。

  • 族 B 和族 C ：若序列由 $(\gamma \beta)$ 的幂的迹生成，$\gamma \in G_A$ 且 $\gamma \neq 1$，则所得序列的周期为 $2(2^n - 1)$。交织 $m$ - 序列族由 $2^{n - 1} + 1$ 个服从 $\mathbb{Z}_4$ 上共同线性递推关系的序列组成，该递推关系由对应于 $(\gamma \beta)$ 的极小多项式确定。交织序列 $isa$ 可表示为 $isa(t) = T(a(\gamma \beta)^t)$，其中 $\beta$ 是泰希米勒集的生成元，$a \neq 0$。当 $\gamma \neq 3$ 且 $\gamma$ 的迹数为 1 时为族 B，当 $\gamma = 3$ 时为族 C。族 B 中的序列可由代表元 ${isa, a \in$ 商群 $G_A / {1, \gamma}}$ 枚举，族 C 中的序列可由代表元 ${isa, a \in$ 商群 $G_A / {1, 3}}$ 枚举。

存在关于族 A、族 B 和族 C 序列的相关和权重分布的定理：
- 定理 2 ：周期为 $2^n - 1$ 的族 A 序列的相关和权重分布在表 1 中给出，这些序列分为五个子集 $P, Q, R, S$ 和 $B$，同一子集中序列的迹数相同。对于第一个子集 $B$（二进制），$w_2 = 2^{r - 1}$，$w_3 = 0$；对于其余子集，$w_3 = 2^{r - 1} - w_1$，$w_2 = 2^{r - 1} - 1 - w_0$。
- 定理 3 ：周期为 $2(2^r - 1)$ 的族 B 和族 C 的相关和权重分布在表 2 和表 3 中给出，序列根据不同的相关值分组，用 $(\overline{\cdot})$ 命名以区别于周期为一半的族 A 序列。在所有这些表中，子集 $\overline{B}$ 对应于 $is_2$，除最后一项外，$w_2 = (2^n - 2) - w_0$，$w_3 = 2^n - w_1$；对于最后一项（子集 $\overline{B}$），$w_3 = 0$，$w_2 = 2^n$。

通过以上对伽罗瓦环上多项式、二进制序列的部分周期分布、非周期自相关以及 Z4 序列族部分相关性的研究，我们可以更深入地理解这些序列在 CDMA 等通信系统中的性能和应用，为进一步的研究和实际应用提供理论基础。

最高有效位的峰旁瓣电平及Z4序列族的部分相关性研究

6. 部分相关函数的矩计算

6.1 部分相关函数的一阶矩

对于伽罗瓦环 $m$ - 序列在族 A、B 和 C 中的部分相关函数一阶矩的计算，是基于前面所介绍的环、迹函数以及序列的相关知识。其计算过程依赖于迹函数的性质以及序列的周期性。

以族 A 为例，其序列 $s_i(t) = T(\gamma \beta^t)$，在计算部分相关函数一阶矩时，需要考虑序列在不同时间点的取值以及迹函数的特性。具体来说，通过对相关函数 $C_{i, j}(\tau) = \sum_{t = 0}^{N - 1} \omega^{s_i(t \oplus \tau) - s_j(t)}$ 在部分时间段上进行求和与分析，结合伽罗瓦环的结构和元素表示，逐步推导出一阶矩的表达式。

6.2 族 A 部分相关函数的局部和全局二阶矩

对于族 A 的部分相关函数二阶矩，分为局部和全局两种情况。

• 局部二阶矩 ：局部二阶矩的计算主要关注序列在局部范围内的相关性变化。在计算过程中，需要考虑序列元素之间的相互作用以及伽罗瓦环的运算规则。例如，对于序列 $s_i(t)$，在某个局部时间段内，通过对相关函数的平方进行求和，并结合前面提到的环的性质和序列的表示，得到局部二阶矩的表达式。

• 全局二阶矩 ：全局二阶矩则是从整个序列的角度来考虑相关性。它综合了序列在各个时间段的相关性信息，计算过程相对复杂。需要对整个序列的相关函数进行全面的分析和求和，同时考虑到序列的周期性和伽罗瓦环的结构特点。

下面通过一个简单的流程图来展示计算族 A 部分相关函数二阶矩的大致步骤：

graph TD;
    A[确定序列表示] --> B[选择局部或全局范围];
    B --> C{局部范围};
    C -- 是 --> D[计算局部相关函数平方和];
    C -- 否 --> E[计算全局相关函数平方和];
    D --> F[结合环性质化简];
    E --> F;
    F --> G[得到二阶矩表达式];

7. 总结与展望

通过对最高有效位的峰旁瓣电平以及 Z4 序列族部分相关性的研究，我们得到了一系列重要的结果。

• 在伽罗瓦环上的多项式研究中，明确了规范多项式的定义以及相关引理，这些为后续的序列分析提供了基础。
• 对于二进制序列的部分周期分布、非周期自相关以及部分周期 $r$ - 模式分布，给出了相应的定理和界，这些结果有助于评估序列在实际应用中的性能。
• 在 Z4 序列族的研究中，详细介绍了族 A、B 和 C 的定义、相关函数以及相关和权重分布，并且对部分相关函数的矩进行了计算。

这些研究成果在 CDMA 等通信系统中具有重要的应用价值。例如，在同步过程中，部分周期相关性的研究可以帮助我们更好地获取码片序列的正确相位，提高系统的同步性能。

展望未来，还有许多工作可以进一步开展：
- 优化序列设计 ：基于现有的研究结果，探索如何设计出具有更好相关性和性能的序列，以满足不断增长的通信需求。
- 实际应用验证 ：将理论研究成果应用到实际的通信系统中，通过实验验证其有效性和可行性。
- 拓展研究范围 ：考虑更多类型的序列和环结构，进一步深入研究序列的相关性和性能。

总之，对序列相关性的研究是一个持续发展的领域，未来有望取得更多有意义的成果。

为了更直观地展示不同序列族的特点，下面给出一个对比表格：
| 序列族 | 序列数量 | 序列长度 | 周期 | 相关性特点 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 族 A | $2^n + 1$ | $2^n - 1$ | $2^n - 1$ | 满足 Welch 和 Sidelnikov 界，有较好的周期相关性 |
| 族 B | $2^{n - 1} + 1$ | $2(2^n - 1)$ | $2(2^n - 1)$ | 由 $(\gamma \beta)$ 幂的迹生成，$\gamma \neq 3$ 且迹数为 1 |
| 族 C | $2^{n - 1} + 1$ | $2(2^n - 1)$ | $2(2^n - 1)$ | 由 $(\gamma \beta)$ 幂的迹生成，$\gamma = 3$ |

通过这个表格，我们可以更清晰地看到不同序列族之间的差异，为进一步的研究和应用提供参考。