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多进制低相关区序列集设计与伽罗瓦环上迹码最高有效位的旁瓣峰值研究
1. 多进制低相关区序列集设计
1.1 背景与目标
在通信领域，多进制低相关区（LCZ）序列集在准同步码分多址（QS - CDMA）环境中具有重要应用。然而，对于一般的多进制数 (M)，尚未有相关的设计方法被报道。下面将介绍一种新的方法，用于从具有良好自相关特性的 (M) 进制序列构造 (M) 进制 LCZ 序列集，其中 (M) 为偶数。
1.2 基本概念
- 周期序列 ：设 ({s(t)}) 是定义在 (Z_M = {0, 1, \cdots, M - 1}) 上的 (M) 进制序列，若对于所有的 (t) 和某个正整数 (N)，满足 (s(t + N) = s(t))，则称 ({s(t)}) 为周期为 (N) 的 (M) 进制序列。
- 互相关与自相关 ：设 ({s_1(t)}) 和 ({s_2(t)}) 是两个周期为 (N) 的 (M) 进制序列，它们的互相关 (C_{s_1,s_2}(\tau)) 定义为 (C_{s_1,s_2}(\tau) = \sum_{t = 0}^{N - 1} \tilde{s} 1(t) \tilde{s}_2^*(t + \tau))，其中 (\tilde{s}(t) = \omega_M^{s(t)})，(\omega_M = \exp(\frac{2\pi\sqrt{-1}}{M}))。当 (s_1(t) = s_2(t)) 时，(C {s_1,s_1}(\tau)) 称为 ({s_1(t)}) 的自相关，简记为 (C_{s_1}(\tau))。
- 二电平自相关与理想自相关 ：若一个周期为 (N) 的二进制序列 ({b(t)}) 满足 (C_b(\tau) = \begin{cases}N, & \tau \equiv 0 \mod N \ \delta, & \tau \neq 0 \mod N\end{cases})，则称 ({b(t)}) 为二电平自相关二进制序列。特别地，当 (N \equiv -1 \mod 4) 且对于任意 (\tau \neq 0 \mod N) 有 (C_b(\tau) = -1) 时，称 ({b(t)}) 为理想自相关二进制序列。
- LCZ 序列集 ：设 (S = {{s_i(t)} | 0 \leq i \leq L - 1}) 是一个由 (L) 个周期为 (N) 的序列组成的集合。对于正整数 (Z \geq 2)，若集合 (S) 中任意两个序列 ({s_i(t)}) 和 ({s_j(t)}) 的互相关 (C_{s_i,s_j}(\tau)) 满足 (|C_{s_i,s_j}(\tau)| \leq \eta)，其中当 (i = j) 时 (0 < |\tau| < Z)，当 (i \neq j) 时 (|\tau| < Z)，则称 (S) 为 ((N, L, Z, \eta)) LCZ 序列集，(Z) 称为 (S) 的 LCZ 大小。
1.3 2T 周期 (M) 进制 LCZ 序列集的设计
1.3.1 交错技术
交错技术可用于从具有良好自相关特性的 (T) 周期序列构造低相关的 (nT) 周期序列，这里 (n) 和 (T) 均为正整数。同样，该技术也可用于从 (T) 周期的 (M) 进制序列构造 (2T) 周期的 (M) 进制 LCZ 序列。
设 ({s(t)}) 是一个 (T) 周期的 (M) 进制序列，满足 (|C_s(\tau)| \leq \epsilon)（(\epsilon) 为非负常数），且 (M) 为偶数，(1 \leq d \leq \lfloor\frac{T - 1}{2}\rfloor)。定义 (f) 如下：
[f = \begin{cases}
\lfloor\frac{2T - 1}{4d}\rfloor, & d \nmid \frac{T - 1}{2} \
\lfloor\frac{2T - 3}{4d}\rfloor, & d \mid \frac{T - 1}{2}
\end{cases}]
定义 (2T) 周期序列的集合 (I_S) 为 (I_S = {{s_{(i,m)}(t)} | 0 \leq i \leq f - 1, m = 0, 1})，其中：
- 当 (d \nmid \frac{T - 1}{2}) 时：
- (s_{(i,0)}(2t) = s(t - id))
- (s_{(i,0)}(2t + 1) = s(t + 1 + (i + 1)d))
- (s_{(i,1)}(2t) = s(t - id) + \frac{M}{2})
- (s_{(i,1)}(2t + 1) = s(t + 1 + (i + 1)d))
- 当 (d \mid \frac{T - 1}{2}) 时：
- (s_{(i,0)}(2t) = s(t - id))
- (s_{(i,0)}(2t + 1) = s(t + 2 + (i + 1)d))
- (s_{(i,1)}(2t) = s(t - id) + \frac{M}{2})
- (s_{(i,1)}(2t + 1) = s(t + 2 + (i + 1)d))
集合 (I_S) 包含 (2f) 个周期为 (2T) 的 (M) 进制序列。
1.3.2 互相关计算
设 (\tau = 2\tau_1 + \tau_0)，(\tau_0 \in {0, 1})，(0 \leq \tau_1 \leq T - 1)。对于 (0 \leq i, j \leq f - 1)，(m, n \in {0, 1})，令 (a = j - i)，(b = j + i + 1)，则 ({s_{(i,m)}(t)}) 和 ({s_{(j,n)}(t)}) 的互相关 (C_{(i,m),(j,n)}(\tau)) 如下：
-
情况一：(d \nmid \frac{T - 1}{2})
- (C_{(i,0),(j,0)}(\tau) = \begin{cases}C_s(\tau_1 + ad) + C_s(\tau_1 - ad), & \tau_0 = 0 \ C_s(\tau_1 + bd + 1) + C_s(\tau_1 - bd), & \tau_0 = 1\end{cases})
- (C_{(i,1),(j,1)}(\tau) = \begin{cases}C_s(\tau_1 + ad) + C_s(\tau_1 - ad), & \tau_0 = 0 \ -C_s(\tau_1 + bd + 1) - C_s(\tau_1 - bd), & \tau_0 = 1\end{cases})
- (C_{(i,0),(j,1)}(\tau) = \begin{cases}-C_s(\tau_1 + ad) + C_s(\tau_1 - ad), & \tau_0 = 0 \ C_s(\tau_1 + bd + 1) - C_s(\tau_1 - bd), & \tau_0 = 1\end{cases})
- (C_{(i,1),(j,0)}(\tau) = \begin{cases}-C_s(\tau_1 + ad) + C_s(\tau_1 - ad), & \tau_0 = 0 \ -C_s(\tau_1 + bd + 1) + C_s(\tau_1 - bd), & \tau_0 = 1\end{cases})
-
情况二：(d \mid \frac{T - 1}{2})
- (C_{(i,0),(j,0)}(\tau) = \begin{cases}C_s(\tau_1 + ad) + C_s(\tau_1 - ad), & \tau_0 = 0 \ C_s(\tau_1 + bd + 2) + C_s(\tau_1 - bd - 1), & \tau_0 = 1\end{cases})
- (C_{(i,1),(j,1)}(\tau) = \begin{cases}C_s(\tau_1 + ad) + C_s(\tau_1 - ad), & \tau_0 = 0 \ -C_s(\tau_1 + bd + 2) - C_s(\tau_1 - bd - 1), & \tau_0 = 1\end{cases})
- (C_{(i,0),(j,1)}(\tau) = \begin{cases}-C_s(\tau_1 + ad) + C_s(\tau_1 - ad), & \tau_0 = 0 \ C_s(\tau_1 + bd + 2) - C_s(\tau_1 - bd - 1), & \tau_0 = 1\end{cases})
- (C_{(i,1),(j,0)}(\tau) = \begin{cases}-C_s(\tau_1 + ad) + C_s(\tau_1 - ad), & \tau_0 = 0 \ -C_s(\tau_1 + bd + 2) + C_s(\tau_1 - bd - 1), & \tau_0 = 1\end{cases})
可以证明，集合 (I_S) 中的序列是循环不同的，即若 ((i, m) \neq (j, n))，则 ({s_{(i,m)}(t)}) 和 ({s_{(j,n)}(t)}) 是循环不同的。
1.3.3 定理证明
定理表明，当 (1 \leq d \leq \frac{T - 1}{2}) 时，集合 (I_S) 是一个 ((2T, 2f, 2d, 2\epsilon)) (M) 进制 LCZ 序列集。证明过程通过分析互相关的取值范围，在不同条件下（(d \nmid \frac{T - 1}{2}) 和 (d \mid \frac{T - 1}{2})）分别讨论，得出对于 (0 \leq |\tau| < 2d) 且 (i \neq j) 以及 (0 < |\tau| < 2d) 且 (i = j) 时，(|C_{(i,m),(j,n)}(\tau)| \leq 2\epsilon)。
1.4 构造的最优性分析
1.4.1 理论界限
Tang、Fan 和 Matsufuji 给出了 LCZ 序列集的一个界限：对于 ((N, L, Z, \eta)) LCZ 序列集 (S)，有 (LZ - 1 \leq \frac{N - 1}{1 - \eta^2/N})。由此可得最优集大小 (L^ ) 为 (L^ = \lfloor\frac{1}{Z} \cdot \frac{N^2 - \eta^2}{N - \eta^2}\rfloor)。
当 (N = 2T)，(Z = 2d)，(\eta = 2\epsilon) 时，(L^ = \lfloor\frac{1}{2d} \cdot \frac{(2T)^2 - 4\epsilon^2}{2T - 4\epsilon^2}\rfloor)，当 (\epsilon) 相对于 (T) 足够小时，(L^ ) 趋近于 (\lfloor\frac{T}{d}\rfloor)。因此，上述构造的 ((2T, 2\lfloor\frac{2T - 1}{4d}\rfloor, 2d, 2\epsilon)) 或 ((2T, 2\lfloor\frac{2T - 3}{4d}\rfloor, 2d, 2\epsilon)) LCZ 序列集 (I_S) 相对于该界限是最优或接近最优的。
1.4.2 实例对比
通过表格对比了不同参数下的构造情况，例如对于 (M = 2)，(N = 254)，(\eta = 2) 的情况，展示了该构造与其他构造方法在可能的集合大小和最优集大小方面的差异。结果表明，该构造在某些情况下能够达到最优集大小，并且在相同集合大小下，LCZ 大小大于或等于其他构造方法。
对于 (M = 4)，(N = 6248) 的情况，利用 Sidel’nikov 序列构造 (M) 进制 LCZ 序列。当 LCZ 大小 (Z) 相对于周期较小时，最优集大小与可能的集合大小之间存在差距；但对于较大的 LCZ 大小，能够得到相对于 Tang - Fan - Matsufuji 界限具有最优集大小的 LCZ 序列集。
1.5 总结
提出的新方法能够从具有良好自相关特性的 (M) 进制序列构造 (M) 进制 LCZ 序列集，该构造相对于 Tang - Fan - Matsufuji 界限是最优或接近最优的。而且，在周期、LCZ 大小和字母表大小的选择上具有很高的灵活性，可应用于各种 QS - CDMA 环境。
1.5.1 优势总结
- 灵活性高 ：可以灵活选择周期、LCZ 大小和字母表大小。
- 最优性 ：构造的序列集在很多情况下是最优或接近最优的。
1.5.2 应用展望
该方法在 QS - CDMA 环境中具有广泛的应用前景，可用于提高通信系统的性能和效率。
1.6 相关参数表格
| (N) | (Z) | (L) | 可能的集合大小（其他构造） | (L^*) | (\eta) |
|---|---|---|---|---|---|
| 254 | 4 | 6 | 62 | 64 | 2 |
| 254 | 6 | 40 | 30 | 43 | 2 |
| 254 | 8 | 30 | 20 | 32 | 2 |
| … | … | … | … | … | … |
| 6248 | 4 | 1560 | - | 1570 | 4 |
| 6248 | 6 | 1040 | - | 1046 | 4 |
| 6248 | 8 | 780 | - | 785 | 4 |
| … | … | … | … | … | … |
1.7 构造流程 mermaid 图
graph TD
A[选择 T 周期 M 进制序列 {s(t)}] --> B{判断 d 与 T 的关系}
B -- d ∤ (T - 1)/2 --> C[计算 f = ⌊(2T - 1)/(4d)⌋]
B -- d | (T - 1)/2 --> D[计算 f = ⌊(2T - 3)/(4d)⌋]
C --> E[定义集合 IS]
D --> E
E --> F[计算序列互相关 C(i,m),(j,n)(τ)]
F --> G[验证是否为 (2T, 2f, 2d, 2ϵ) M 进制 LCZ 序列集]
2. 伽罗瓦环上迹码最高有效位的旁瓣峰值研究
2.1 研究背景
在通信系统中，二进制序列的非周期自相关是二进制扩频序列设计的重要准则，同时也是与优值因子相关的一个有趣的数学不变量。Sarwate 曾使用傅里叶系数估计推导了二进制 (M) 序列的旁瓣峰值（PSL）上限，该界限最近被扩展到环上 (M) 序列的最高有效位（MSB）。下面将研究伽罗瓦环上加权度迹码投影到其最高有效位得到的二进制序列，推导其非周期相关、旁瓣峰值、部分周期不平衡和部分周期模式不平衡的上限。
2.2 伽罗瓦环基本定义
设 (R = GR(2^l, m)) 表示特征为 (2^l) 的伽罗瓦环，它是 (Z_{2^l}) 的唯一 (m) 次伽罗瓦扩展，有 (2^{lm}) 个元素，可表示为 (R = Z_{2^l}[X]/(h(X)))，其中 (h(X)) 是一个 (m) 次基本不可约多项式。
- Teichmüller 集 ：设 (\xi) 是 (GR(2^l, m)) 中的一个元素，它生成 (GR(2^l, m)) 的 Teichmüller 集 (T)，(T) 模 (2) 约简为 (F_{2^m})。具体地，(T = {0, 1, \xi, \xi^2, \cdots, \xi^{2^m - 2}})，(T^* = {1, \xi, \xi^2, \cdots, \xi^{2^m - 2}})，并规定 (\xi^{\infty} = 0)。
- 2 - 进展开 ：对于 (x \in GR(2^l, m))，其 2 - 进展开为 (x = x_0 + 2x_1 + \cdots + 2^{l - 1}x_{l - 1})，其中 (x_0, x_1, \cdots, x_{l - 1} \in T)。
- 弗罗贝尼乌斯算子与迹 ：弗罗贝尼乌斯算子 (F) 定义为 (F(x_0 + 2x_1 + \cdots + 2^{l - 1}x_{l - 1}) = x_0^2 + 2x_1^2 + \cdots + 2^{l - 1}x_{l - 1}^2)，从 (GR(2^l, m)) 到 (Z_{2^l}) 的迹 (Tr) 定义为 (Tr := \sum_{j = 0}^{m - 1} F^j)，从 (F_{2^m}) 到 (F_2) 的迹 (tr) 定义为 (tr(x) := \sum_{j = 0}^{m - 1} x^{2^j})。
- 最高有效位映射 ：定义 (MSB : Z_{2^l}^n \to Z_2^n) 为最高有效位映射，即 (MSB(y) = y_{l - 1})，其中 (y = y_0 + 2y_1 + \cdots + 2^{l - 1}y_{l - 1} \in Z_{2^l}) 是其 2 - 进展开。
2.3 DFT 与局部 Weil 界限
2.3.1 特征与映射
设 (l) 为正整数，(\omega = e^{2\pi i/2^l}) 是 (C) 中的一个 (2^l) 次本原单位根，(\psi_k) 是 (Z_{2^l}) 的加法特征，满足 (\psi_k(x) = \omega^{kx})。定义映射 (\mu : Z_{2^l} \to {\pm 1}) 为 (\mu(t) = (-1)^c)，其中 (c) 是 (t \in Z_{2^l}) 的最高有效位，即把 (0, 1, \cdots, 2^{l - 1} - 1) 映射到 (+1)，把 (2^{l - 1}, 2^{l - 1} + 1, \cdots, 2^l - 1) 映射到 (-1)。
根据傅里叶变换公式，(\mu = \sum_{j = 0}^{2^l - 1} \mu_j \psi_j)，其中 (\mu_j = \frac{1}{2^l} \sum_{x = 0}^{2^l - 1} \mu(x) \psi_j(-x))。
2.3.2 引理结果
- 当 (l = 3) 时，对于 (j = 1, 3, 5, 7)，(\mu_j = \frac{1 + \omega^{-j} + \omega^{-2j} + \omega^{-3j}}{4})，有 (\mu = \mu_1 \psi_1 + \mu_3 \psi_3 + \mu_5 \psi_5 + \mu_7 \psi_7)，且对于偶数 (j)，(\mu_j = 0)，并且 ((|\mu_1| + |\mu_3| + |\mu_5| + |\mu_7|)^2 = 2 + \sqrt{2})。
- 当 (q = 2^l) 且 (l \geq 4) 时，(\sum_{j = 0}^{q - 1} |\mu_j| < \frac{2}{\pi} \ln(q) + 1)。
对于 (R = GR(2^l, m)) 中所有非零的 (\beta)，定义加法特征 (\Psi_{\beta} : R \to C^*) 为 (\Psi_{\beta}(x) = \omega^{Tr(\beta x)})，且有 (\psi_k(Tr(\beta x)) = \Psi_{\beta k}(x))。
2.3.3 加权度与界限
设 (f(X)) 是 (R[X]) 中的一个多项式，其 2 - 进展开为 (f(X) = F_0(X) + 2F_1(X) + \cdots + 2^{l - 1}F_{l - 1}(X))，设 (d_i) 是 (F_i) 关于 (x) 的次数。定义 (f) 的加权度 (D_f) 为 (D_f = \max{d_0 2^{l - 1}, d_1 2^{l - 2}, \cdots, d_{l - 1}})。
在一定的技术条件下，对于任意整数 (k, H) 满足 (0 \leq k < k + H - 1 \leq 2^m - 2)，有界限 (\left|\sum_{j = k}^{k + H - 1} \Psi(f(\xi^j))\right| \leq \left(\frac{2}{\pi} \ln \frac{4(2^m - 1)}{\pi} + 1\right) D_f \sqrt{2^m})。
2.4 研究总结
通过结合 Weil 类界限和傅里叶变换估计，对伽罗瓦环上加权度迹码投影到最高有效位得到的二进制序列进行分析，推导了其非周期相关、旁瓣峰值、部分周期不平衡和部分周期模式不平衡的上限。这种研究方法不仅在数学理论上具有一定的意义，而且在通信领域的二进制序列设计中可能具有潜在的应用价值。
2.5 研究流程 mermaid 图
graph TD
A[定义伽罗瓦环 R = GR(2^l, m)] --> B[定义 Teichmüller 集和相关运算]
B --> C[定义映射 μ 和傅里叶变换]
C --> D[推导引理结果]
D --> E[定义多项式 f(X) 及其加权度 D_f]
E --> F[推导特征和的界限]
2.6 研究优势与展望
2.6.1 优势
- 理论创新 ：结合了伽罗瓦环、傅里叶变换和特征和估计等多种理论，为二进制序列的研究提供了新的视角。
- 潜在应用 ：推导的上限在通信系统的二进制序列设计中可能有实际应用，有助于优化序列的性能。
2.6.2 展望
未来可以进一步研究这些序列在不同通信环境下的性能，探索如何根据实际需求调整参数以获得更好的序列特性。同时，可以尝试将该方法扩展到其他类型的环或序列上，拓展研究的范围。
2.7 伽罗瓦环相关参数总结表格
| 参数 | 定义 |
|---|---|
| (R = GR(2^l, m)) | 特征为 (2^l) 的伽罗瓦环，是 (Z_{2^l}) 的 (m) 次伽罗瓦扩展，有 (2^{lm}) 个元素，(R = Z_{2^l}[X]/(h(X)))，(h(X)) 是 (m) 次基本不可约多项式 |
| (T) | Teichmüller 集，(T = {0, 1, \xi, \xi^2, \cdots, \xi^{2^m - 2}})，(\xi) 生成 (T) 且模 (2) 约简为 (F_{2^m}) |
| (Tr) | 从 (GR(2^l, m)) 到 (Z_{2^l}) 的迹，(Tr := \sum_{j = 0}^{m - 1} F^j) |
| (tr) | 从 (F_{2^m}) 到 (F_2) 的迹，(tr(x) := \sum_{j = 0}^{m - 1} x^{2^j}) |
| (MSB) | 最高有效位映射，(MSB(y) = y_{l - 1})，(y = y_0 + 2y_1 + \cdots + 2^{l - 1}y_{l - 1} \in Z_{2^l}) |
| (\omega) | (C) 中的 (2^l) 次本原单位根，(\omega = e^{2\pi i/2^l}) |
| (\psi_k) | (Z_{2^l}) 的加法特征，(\psi_k(x) = \omega^{kx}) |
| (\mu) | 映射 (\mu : Z_{2^l} \to {\pm 1})，(\mu(t) = (-1)^c)，(c) 是 (t) 的最高有效位 |
| (\mu_j) | 傅里叶系数，(\mu_j = \frac{1}{2^l} \sum_{x = 0}^{2^l - 1} \mu(x) \psi_j(-x)) |
| (\Psi_{\beta}) | 加法特征，(\Psi_{\beta}(x) = \omega^{Tr(\beta x)})，(\beta \in R, \beta \neq 0) |
| (D_f) | 多项式 (f(X)) 的加权度，(f(X) = F_0(X) + 2F_1(X) + \cdots + 2^{l - 1}F_{l - 1}(X))，(D_f = \max{d_0 2^{l - 1}, d_1 2^{l - 2}, \cdots, d_{l - 1}}) |
3. 两种研究的对比与综合应用思考
3.1 对比分析
3.1.1 研究对象
- 多进制 LCZ 序列集设计 ：主要围绕多进制序列展开，通过交错技术从具有良好自相关特性的 (M) 进制序列构造 (M) 进制 LCZ 序列集，重点在于序列集的构造和最优性分析。
- 伽罗瓦环上迹码最高有效位研究 ：聚焦于伽罗瓦环上加权度迹码投影到最高有效位得到的二进制序列，研究其非周期相关、旁瓣峰值等统计特性。
3.1.2 方法手段
- 多进制 LCZ 序列集设计 ：运用交错技术和互相关计算，结合理论界限分析构造的最优性。
- 伽罗瓦环上迹码最高有效位研究 ：结合 Weil 类界限和傅里叶变换估计，推导二进制序列相关统计量的上限。
3.1.3 应用场景
- 多进制 LCZ 序列集设计 ：适用于 QS - CDMA 环境，可提高通信系统的性能和效率。
- 伽罗瓦环上迹码最高有效位研究 ：在通信系统的二进制序列设计中可能有潜在应用，有助于优化序列的性能。
3.2 综合应用思考
3.2.1 结合思路
可以考虑将多进制 LCZ 序列集设计的思想与伽罗瓦环上迹码最高有效位的研究成果相结合。例如，在构造多进制序列时，引入伽罗瓦环的相关特性，可能会得到具有更好性能的序列。或者在分析二进制序列的统计特性时，借鉴多进制 LCZ 序列集的构造方法，以优化二进制序列的设计。
3.2.2 潜在优势
- 性能提升 ：通过结合两种研究的优势，可能会得到具有更低相关、更好旁瓣峰值特性的序列，从而提高通信系统的抗干扰能力和传输效率。
- 灵活性增强 ：在序列的周期、字母表大小等参数选择上可能会有更多的灵活性，以适应不同的通信场景需求。
3.3 综合应用流程 mermaid 图
graph TD
A[选择多进制序列构造基础] --> B{是否引入伽罗瓦环特性}
B -- 是 --> C[结合伽罗瓦环相关参数和运算]
B -- 否 --> D[按原多进制序列构造方法进行]
C --> E[构造多进制序列集]
D --> E
E --> F[分析序列集的统计特性]
F --> G{是否满足性能要求}
G -- 是 --> H[应用于通信系统]
G -- 否 --> I[调整参数重新构造]
I --> E
4. 总结与展望
4.1 总结
- 多进制 LCZ 序列集设计 ：提出了一种新的构造方法，从具有良好自相关特性的 (M) 进制序列构造 (M) 进制 LCZ 序列集，该构造在周期、LCZ 大小和字母表大小的选择上具有灵活性，且相对于 Tang - Fan - Matsufuji 界限是最优或接近最优的，可应用于 QS - CDMA 环境。
- 伽罗瓦环上迹码最高有效位研究 ：通过结合 Weil 类界限和傅里叶变换估计，推导了伽罗瓦环上加权度迹码投影到最高有效位得到的二进制序列的非周期相关、旁瓣峰值等统计量的上限，为二进制序列设计提供了新的视角和理论支持。
4.2 展望
4.2.1 技术发展
- 随着通信技术的不断发展，对序列性能的要求也会越来越高。未来可以进一步优化多进制 LCZ 序列集的构造方法，提高序列的性能和最优性。
- 在伽罗瓦环相关研究方面，可以探索更复杂的多项式和特征和估计方法，以得到更精确的统计量上限。
4.2.2 跨领域应用
- 可以将这两种研究成果应用到更多的领域，如雷达、密码学等，拓展序列设计的应用范围。
- 尝试与其他学科的理论和方法相结合，如机器学习、信息论等，以实现更智能、高效的序列设计。
4.3 综合优势表格
| 研究方向 | 优势 |
|---|---|
| 多进制 LCZ 序列集设计 | 灵活性高，可灵活选择周期、LCZ 大小和字母表大小；构造的序列集在很多情况下是最优或接近最优的，适用于 QS - CDMA 环境 |
| 伽罗瓦环上迹码最高有效位研究 | 理论创新，结合多种理论为二进制序列研究提供新视角；推导的上限在通信系统二进制序列设计中有潜在应用，有助于优化序列性能 |
| 综合应用 | 性能提升，可能得到具有更好性能的序列；灵活性增强，在参数选择上有更多选择以适应不同场景 |
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