30、基于格的最小部分实现算法

基于格的最小部分实现算法

1. 引言

最小部分实现问题作为线性系统理论中最基础的问题之一，自20世纪60年代初以来就备受关注，由此产生了许多相关算法。在信息理论中，该问题也被称为线性反馈寄存器综合问题，在密码系统的分析和设计中起着重要作用，特别是近年来，多变量密码系统的研究日益受到关注。

考虑一个在任意域IF上的p×m矩阵的无限序列T = {T1, T2, …}，通过T (z) =$\sum_{i = 1}^{\infty} T_i z^{-i}$来指定线性系统中的传递函数。对于正整数N，目标是找到一个m×m非奇异多项式矩阵MN(z)和一个多项式矩阵YN(z)，使得YN(z)$M_N^{-1}$(z)的Laurent展开的前N项等于{T1, T2, …, TN}。若det(MN(z))的次数（也称为McMillan次数）最小，则YN(z)$M_N^{-1}$(z)是T (z)或T的第N个（右）最小部分实现。

对于单输入单输出（SISO）系统（p = m = 1），有有效的Berlekamp - Massey算法；对于m = 1且p > 1的系统（即向量序列），也有几种综合算法。此前有人基于函数域中的格约简算法提出了向量序列的最小部分实现算法，但将其推广到多输入多输出（MIMO）系统并不明确。本文将该算法扩展到矩阵序列，同时刻画所有最小部分实现，并给出唯一性问题的充分必要条件。

2. 实现算法

我们主要关注任意域IF、多项式环IF[z]、有理函数域IF(z)和形式Laurent级数域K = IF(($z^{-1}$))。在K上定义了一个赋值v，对于α =$\sum_{j = j_0}^{\infty} a_j z^{-j}$∈K，若