概率机器人学习记录1：贝叶斯定律

1 贝叶斯定律

是机器人中应用概率最常见的一个定律，所以先把这个搞透。

【个人理解】：希望由传感器的测量值y作为已知，推导得到各个x的概率，概率最大的就最可能，于是由y->x。
但前提是：先知道确定的每个x时，测量值y应该是多少。

2 贝叶斯滤波

理解：以导航为例，

• $x_{t-1}$是前一计算时刻的位置，实际位置周边各个位置都有一定的可能性，其分布为$bel(x_{t-1})$
• 根据odom信息可以估算出当前位置当前各个位置的可能性：$\overline{bel}(x_t)$。
• 再用贝叶斯定律，得到当前测量$z_t$下的各个位置的可能性$bel(x_t)$。其中 p { z t ∣ x t } p\left \{ z_{t} | x_{t} \right \} p{ zt​∣xt​}是在$x_t$位置获得该测量的概率，比如在该位置看到的地图与扫描的地图一致的概率。
• 如果还不好理解，书中机器人开门的例子比较简单，可以参考。
  
  【链接】狄氏分布

作业：

1

在这个问题中，我们有一个可以测量0-3m距离的传感器，但传感器可能会故障。
当传感器正常工作时，测量值在0-3m之间均匀分布；当传感器故障时，无论实际距离是多少，输出值都小于1m。
我们知道传感器故障的先验概率是0.01。现在，我们要计算当机器人连续查询传感器N次，每次测量值都小于1m时，传感器故障的后验概率。

假设：
P(F) 是传感器故障的先验概率，P(F) = 0.01
P(N) 是传感器正常的先验概率，P(N) = 1 - P(F) = 0.99
P(M<1|F) 是传感器故障时测量值小于1m的概率，P(M<1|F) = 1（因为故障时总是小于1m）
P(M<1|N) 是传感器正常时测量值小于1m的概率，P(M<1|N) = 1/3（因为0-3m均匀分布，小于1m的概率是1/3）

我们要找的是传感器故障的后验概率 P(F|M<1)^N，其中N是查询次数。
根据贝叶斯定理，我们有：
P(F|M<1)^N = [P(F) × P(M<1|F)^N] / [P(F) × P(M<1|F)^N + P(N) × P(M<1|N)^N]

现在我们要来计算这个后验概率。
对于N=1到10，传感器故障的后验概率分别为：
N=1: 0.0294117647058824
N=2: 0.0833333333333333
N=3: 0.214285714285714
N=4: 0.45
N=5: 0.710526315789474
N=6: 0.880434782608696
N=7: 0.956692913385827
N=8: 0.985135135135135
N=9: 0.994995450409463
N=10: 0.998326232501522

这些后验概率表示了当机器人连续查询传感器N次，每次测量值都小于1m时，传感器故障的可能性。随着查询次数的增加，后验概率迅速上升，表明连续多次的测量结果都小于1m时，传感器故障的可能性变得越来越大。

上面的公式是根据贝叶斯定理推导出来的。
贝叶斯定理是一个描述条件概率之间关系的定理，它允许我们根据新的信息更新某个事件发生的概率。
在这个问题中，我们要更新的是传感器故障的概率，根据连续多次测量值都小于1m这一新的信息。

贝叶斯定理的一般形式是：
$P(A|B)=\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}$
其中，$P(A|B)$ 是在事件B发生的条件下事件A发生的概率，$P(B|A)$ 是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，$P(A)$ 和 $P(B)$ 分别是事件A和事件B发生的概率。

在这个具体问题中，我们有以下事件：
A：传感器故障（F）
B：测量值小于1m（M<1）

我们要求的是 $P(A|B^N)$，即在连续N次测量值都小于1m的条件下，传感器故障的概率。

根据贝叶斯定理，我们有：
$P(A|B^N)=$