概率论-1-概率机器人 Probabilistic Robotics

基本概念

1. 随机变量 静态的 可以做随机试验

2. 随机过程 动态

3. 离散随机变量

   概率质量函数 probability mass function

4. 连续随机变量

   概率密度函数 probability density function PDF

5. 联合概率

   $$\begin{gathered} P(X=x且Y=y)=P(x,y) \\ 若X和Y独立：P(x,y)=P(x)P(y) \end{gathered}$$

6. 条件概率 P(x | y) 是给定 y 时 x 的概率

   $$\begin{gathered} P(x|y)=\frac{P(x,y)}{P(y)} \\ P(x,y)=P(x|y)P(y) \\ 若X和Y独立：P(x|y)=P(x) \end{gathered}$$

7. 边缘概率

   $$\begin{gathered} P(x)=\sum _{y}P(x,y)P(x)=\int P(x,y)dy \\ P(x)=\sum _{y}P(x|y)P(y)P(x)=\int P(x|y)P(y)dy \\ P(x|y)=\int P(x|y,z)P(z|y)dz \end{gathered}$$

8. 贝叶斯公式（由边缘概率推导）

   $$\begin{gathered} P(x|y)=\frac{P(y|x)P(x)}{P(y)}=\frac{likehood\cdot prior}{evidence} \\ P(x|y,z)=\frac{P(y|x,z)P(x|z)}{P(y|z)} \end{gathered}$$

   归一化

   $$\begin{gathered} P(x|y)=\frac{P(y|x)P(x)}{P(y)}=\eta P(y|x)P(x) \\ \eta =P(y{)}^{-1}=\frac{1}{{\sum }_{x}P(y|x)P(x)} \end{gathered}$$