机器学习系列（一）感知器分类算法

分类算法有两种类型：感知器和适应性线性神经元

神经元的数学表示

$$w=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ ...\\ w_m\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_m\end{array}\right]$$
$$z=w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdot \cdot \cdot +w_m{x}_m$$
其中w为权重，x为训练样本

感知机的训练步骤

1. 把权重向量初始化为0，或把每个分向量初始化为[0,1]间任意小数
2. 把训练样本输入感知机，得到分类结果（-1或1）
3. 根据分类结果更新权重向量

激活函数

为了计算方便我们添加$w_0{x}_0$， 其中$w_0=-\theta ，x_0=1$ 则
$$z=w_0{x}_0+w_1{x}_1+...+w_m{x}_m=w^{T}x,\varphi (z)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if z>0}\\ -1,& \text{otherwise}\end{array}$$
这样，当$z>0$时，$\varphi (z)=1$，当$z<0$时，$\varphi (z)=-1$.

权重的更新算法

• $w(j)=w(j)+\Delta w(j)$
• $\Delta w(j)=\eta \ast (y-y^{\prime })\ast x(j)$ : y表示x(j)的正确分类，y’表示感知机算出来的分类，x(j)表示训练样本。可以看出来如果感知器的分类结果$y^{\prime }$与正确分类$y$相同时，那么可以得到$\Delta w(j)=0$，也就可以得到$w(j)=0$，也就是说如果感知器可以正确对数据样本进行正确分类，那么对权重$w(j)$就不需要进行调整；只有感知器得到了错误的分类结果之后，出需要调整权重向量$w(j)$。
• $\eta$ 表示学习率是[0,1]之间的一个小数，一般有使用者自己设置。通过反复运行模型，人为根据经验调整学习率$\eta$，使得模型训练结果越来越好。
• $w(0)=0,\Delta w(0)=\eta \ast (y-y^{\prime })$阈值的更新

举例说明如何更新权重

假设

1. 权重向量初始化为：$w=[0,0,0]$
2. 训练样本的值：$x=[1,2,3]$
3. 学习率：$\eta =0.3$
4. 这个样本的正确分类y=1
5. 感知器算出来的分类是y’=-1

调整权重向量$\Delta w(0)=0.3\ast (1-(-1))\ast x(0)=0.3\ast 2\ast 1=0.6$，$w(0)=w(0)+\Delta w(0)=0.6$，则权重的第一个分量更新为0.6，即$w=[0.6,0,0]$

同理，$\Delta w(1)=0.3\ast (1-(-1))\ast x(1)=0.3\ast 2\ast 2=1.2$，则更新权重的第二个分量为$w(1)=w(1)+\Delta w(1)=1.2$

同理，$\Delta w(2)=0.3\ast (1-(-1)\ast x(2))=0.3\ast 2\ast 3=1.8$，则更新权重的第三个分量为$w(2)=w(2)+\Delta w(2)=1.8$

最终可以得到更新后的权重向量为$w=[0.6,1.2,1.8]$

这样就可以再次将新的训练样本输入到模型中，根据分类结果走相同的步骤继续改进权重向量。

感知器算法的适用范围

必须要满足上图中第一个图中的情况，也就是预测的数据可以现行分割，感知器的训练目标就是要找出这条线。而后面两个情况，是无法进行线性可分的，不适用于感知器算法进行分类。

代码实现

定义感知器类

import numpy as np

class Perceptron(object):
    """
    eta: 学习率
    n_iter: 权重向量的训练次数
    w_: 神经分叉权重向量
    errors_: 用于记录神经元判断出错次数
    """
    def __init__(self, eta = 0.01, n_iter = 10):
        self.eta = eta
        self.n_iter = n_iter
        pass
    
    def fit(self, X, y):
        """
        输入训练数据，培训神经元，X表示输入样本, y对应样本的正确分类
        X: shape[n_samples, n_features]
        n_samples:表示有多少个训练样本数量
        n_features: 表示有多少个属性
        例如：X: [[1,2,3], [4,5,6]] => n_samples=2;n_features=3

        y: [1, -1]表示第一个向量的分类是1, 第二个向量的分类是-1
        """

        """
        首先初始化权重为0
        加一是因为激活函数w0,也就是阈值,这样就只用判断输出结果是否大于0就可以了
        """
        self.w_ = np.zero(1 + X.shape[1])
        self.errors_ = []

        """
		只要出现错误分类，那么反复训练这个样本，次数是n_iter
		"""
        for _ in range(self.n_iter): 
            errors = 0
            """
            X:[[1,2,3], [4,5,6]]
            y:[1, -1]

            zip(X, y) => [[1,2,3,1], [4,5,6-1]]
            """
            for xi, target in zip(X,y):
                """
                update = η * (y-y')
                """
                update = self.eta * (target - self.predict(xi))
                """
                xi 是一个向量, 例如[1,2,3], target表示1
                update 是一个常量
                update*xi 等价于 [Δw(1) = X[1]*update, Δw(2) = X[2]*update, Δw(3) = X[3]*update]
                """
                # w_[1:]表示w忽略第0个元素，从第一个元素开始往后
                self.w_[1:] += update * xi
                self.w_[0] += update * 1
                errors += int(update != 0.0)
                self.errors_.append(errors)
            pass
        pass
            
    def net_input(self, X):
        """
        z = W0*1 + W1*X1 + W2*X2+ ...+ Wn*Xn
        """
        return np.dot(X, self.w_[1:]) + self.w_[0]

    def predict(self, X):
        """
        如果self.net_input(X) >= 0.0返回1, 否则返回-1
        """
        return np.where(self.net_input(X) >= 0.0 , 1, -1)

目前虽然有了感知器的分类算法，但是还没有运行起来，下面将如何使用这个感知器分类算法，然后将训练样本输入到模型中，最后进行预测数据。

介绍训练数据

有了基本模型后，要做的就是要把大量的数据，输入至模型中，让模型通过对大量数据的观察，总结出数据中隐含的某种规律，根据数据特点不断调节模型中神经元权重数值，当神经元的权重数值调节到合适的范围之内后，就可以利用训练后的模型对新的数据进行预测分类。
首先需要先介绍训练数据的数据结构。训练数据内容如下：

使用pandas工具，来读取数据，可以很容易的进行抽取数据。
首先安装pandas:pip install pandas -i https://pypi.douban.com/simple

import pandas as pd

file="./iris.csv"
df = pd.read_csv(file, header=None)
print(df.head())

结果输出如下：

可视化展示这个数据，使用matplotlib工具进行展示。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from test3 import df

# 将df中0到100行的数据的第四列赋值给y向量 
y = df.loc[0:100, 4].values
# 将Iris-setosa转为-1,其余转为1
y = np.where(y == 'Iris-setosa', -1, 1)
# print(y)
# 将df0到100行的数据的第0列和第2列抽取出来，赋值给x向量
X = df.iloc[0:100, [0, 2]].values
# print(X)
# 将X向量的钱50条数据的第0列作为x轴，第1列作为y轴坐标，画在二维坐标轴，画出来的点是红色的'o',
plt.scatter(X[:50, 0], X[:50, 1], color = 'red', marker='o', label='setosa')
plt.scatter(X[50:100, 0], X[50:100, 1], color = 'blue', marker='x', label='versicolor')
plt.xlabel('花瓣长度')
plt.ylabel('花径长度')
plt.legend(loc='upper left')
# 下面两行解决乱码问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['KaiTi'] # 指定默认字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

plt.show()

可以看出来这两类数据可以线性分割开。

一步一步调试

初始化eta=0.1, w=[0 0 0]

5.1,1.4,target=-1, self.net_input(x)=W0*1+W1*5.1+W2*1.4=0,self.predict(xi)=1,update=eta*(target-self.predict(xi))=0.1*(-2)=-0.2,errors=1,W=[1*(-0.2)5.1*(-0.2)1.4*(-0.2)]=[-0.2 -1.02 -0.28]
4.9,1.4,target=-1, self.net_input(x)=W0*1+W1*4.9+W2*1.4=-0.2*1+(-1.02)*4.9+(-0.28)*1.4=-0.3918432<0,self.predict(xi)=-1,update=eta*(target-self.predict(xi))=0.1*0=0,errors=1,W=[-0.2+1*0-1.02+4.9*0-0.28+1.4*0]=[-0.2 -1.02 -0.28]
4.7,1.3,target=-1, self.net_input(x)=W0*1+W1*4.7+W2*1.3=-0.2+(-4.794)+(-0.364)<0,self.predict(xi)=-1,update=0,errors=1,W=[-0.2 -1.02 -0.28]
5.4,1.7,target=-1,self.net_input(x)<0,self.predict(xi)=-1,update=0,errors=1,W=[-0.2 -1.02 -0.28]
7,4.7,target=1,self.net_input(x)<0,self.predict(xi)=-1,update=0.2,errors=2,W=[(-0.2)+(0.2*1) (-1.02)+(0.2*7) (-0.28)+(0.2*4.7)]=[0 0.38 0.66]

1. 首先得到样本数据和分类标签target
2. 然后计算预测标签的值predict
3. 更新权重W=eta*(target-predict), 将上一次的权重W进行累加w(j)+Δw(j)
4. 以此类推