组合数学 (一): 快速幂运算

最新推荐文章于 2021-08-10 15:31:33 发布

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这篇博客介绍了快速幂运算的基本概念，通过对比普通幂运算的O(N)复杂度，阐述了快速幂运算的O(lgN)高效性。以7^13为例，解释了快速幂运算是如何通过分解二进制来减少乘法次数的。同时，提供了C语言的实现代码，并指出在最大整形数据范围内，其复杂度可视为O(1)。文章还提到快速幂运算在计算杨辉三角第n行和矩阵快速幂等应用中的价值。

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快速幂运算

普通幂运算复杂度为 O(N)
快速幂运算复杂度为 O(lgN)

举个例子:
如果计算 $7^{13}$

普通幂运算:

  int result = 1;
  for (int i = 0; i < 13; i++) {
  	result *= 7;
  }

连乘13次, 简单明了

快速幂运算:
十进制数 13 的二进制为 1101 即 1 + 4 + 8, 所以 $7^{13} = 7^{1 + 4 + 8} = 7 *7^4 * 7^8$
只需3次乘法运算, 每次运算时乘数取平方即可
```
	int result = 1;
	遍历13的二进制位 {
		if (第 i 位 == 1) {
			result *= 7 ^ (2 ^ i);
		}
	}
```
容易看出, 循环的次数是数字b的二进制中的最大的位数, 即 lgN 次. 每次循环体内的运算为 O(1), 因此总复杂度为 O(lgN) .
但是由于整形数据一般是32 / 64位, 所以最大运算次数是32 / 64次, 因此也可以说复杂度是O(1)

C语言实现

int pow(int a, int b) {
	int result = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) result *= a;
		a *= a;
		b >>= 1;
	}
	return result;
}

应用

杨辉三角第 i 行作为十进制数是 11 的 i 次方 (i 从0开始), 因此计算第 n 行 (n < 1 e 8) 可以用快速幂运算
(拓展) 矩阵快速幂, 在后续组合数学问题中会用到