uva11609(组合数学，快速幂)

最新推荐文章于 2018-04-28 20:18:19 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/zywscq/p/3945990.html

本文介绍了一种组合数学问题的高效解决方法，通过数学推导将原始问题转化为n*(2^n-1)的快速计算，并提供了C++实现代码。文章详细解释了组合数公式C(n,k)*C(k,r)=C(n,r)*C(n-r,k-r)的应用场景。

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先选人，再从这些人里选一个队长，方案总数：C(i,1)*C(n,i)（其中i从1到n）的总和。

这个公式显然不能在时限内暴力算出来，需要变形和推导出更简单的来。

用到组合数里面这个公式：C(n,k)*C(k,r)=C(n,r)*C(n-r,k-r)（其中r<=k）

一变换以后就可以推出最后结果就是n*(2^n-1)，n比较大，所以再用下快速幂就好了。

这里从实际模型出发解释一下这个组合数公式：

有n个球，从中选k个，再从k个里选r个做上标记，有多少选法？

一种思路就是先选k个在从k个里选r个，结果为C(n,k)*C(k,r)。

另一种思路是先选r个标记上，再选(k-r)个，结果为C(n,r)*C(n-r,k-r)。

两个结果必然相等，所以C(n,k)*C(k,r)=C(n,r)*C(n-r,k-r)成立。

对于这道题，其实就可以直接理解为先选一个队长，然后再选其它人。

小结：组合数学的题，有时变换一下选择的顺序就会有意外惊喜！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define INF 1000000000
#define eps 1e-8
#define pii pair<int,int>
#define LL long long int
const int mod=1000000007;
int T,n;
LL get(LL x,int n)
{
    LL a=1;
    while(n>=1)
    {
        if(n%2==0)
        {
            x*=x;
            x%=mod;
            n/=2;
        }
        else
        {
            a*=x;
            a%=mod;
            n--;
        }
    }
    return a;
}
int main()
{
    //freopen("in6.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    int cas=1;
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        LL ans=((LL)n*get(2LL,n-1))%mod;
        printf("Case #%d: %lld\n",cas++,ans);
    }
    //fclose(stdin);
    //fclose(stdout);
    return 0;
}