38、算法不可解问题与相关理论探讨

算法不可解问题与相关理论探讨

算法不可解问题的判定定理

存在一些算法不可解的问题，这些问题在某些理论体系中是不可证明的，并且这精确地刻画了此类问题何时在算法上不可解。以下定理对此进行了总结：
设 $R(x,y)$ 是一个可计算关系，问题 $P$ 为：对于给定的 $x$，判定是否存在 $y$ 使得 $R(x,y)$ 成立。那么以下两个表述是等价的：
1. 该问题在算法上不可判定。
2. 不存在理论 $T$，使得对于每一个 $a$，句子 $\neg\exists yR(a,y)$ 为真当且仅当它在 $T$ 中可证明。

证明如下：
- 假设问题 $P$ 是可判定的，那么形如 $\neg\exists yR(a,y)$ 的真句子集合是可判定的，我们可以将这个句子集合作为 $T$。
- 假设 $T$ 能证明 $\neg\exists yR(a,y)$ 当且仅当这个句子为真。对于给定的 $a$，我们可以通过以下方式判定 $\exists yR(a,y)$ 的真假：系统地检查所有元素 $y$ 对应的 $R(a,y)$，同时并行检查所有证明，寻找 $\neg\exists yR(a,y)$ 的证明，这两者中必有一个会成功。

拉姆齐定理的复杂度

拉姆齐定理是一个有趣的研究对象，它体现了与算法不可判定性相关的另一种类型的结果，其本质是不可能性而非不可判定性。我们已知对于自然数的每个子集都成立的拉姆齐性质非常复杂，若应用于更高基数，它会定义出极大的基数，所以该定理存在计算上的困难并不令人意外。

简单示例

给定一个在自然数上的可计算函数 $f$，其取值为 0 和 1，该函数以程序形式给出