16、程序与计算：从基础概念到不可计算函数

程序与计算：从基础概念到不可计算函数

1. 计算的历史与重要性

计算的历史和数学一样悠久，早期的数学实际上就是计算的艺术。随着数学家们证明越来越多的通用结果，他们逐渐开始考虑一些在实际中无法计算，但在理论上可计算的问题，即假设计算时间不受限制时可计算的问题。最终，他们还遇到了即使在理论上也无法计算的问题。

算法在数学中一直占据着重要地位，因为如果无法计算理论的结果，就无法将其应用于实际问题。我们与现实世界的交互本质上是可计算的，所以任何理论都应该提供计算指令，否则就无法对其进行测试。不过，也有许多理论结果并不会直接产生算法，比如表明某些结构不存在或某些计算不可能的结果，这些结果更多地是起到警示作用。

在20世纪后半叶，计算理论，尤其是其应用部分，从数学中分离出来，计算成为了一个新兴的产业。计算机科学和物理学一样，研究具体的事物——计算机及其计算过程。但计算也存在许多纯粹的理论问题，这些问题更属于数学范畴。其中一个主要问题是在有限资源（时间、计算机大小和内存）的情况下能计算什么。这个问题不仅对计算机科学至关重要，对数学基础也有重要意义，因为我们与世界的交互也受到同样的限制，我们的大脑也可以看作是某种计算机，而且我们个人和人类整体使用大脑的时间都是有限的。

2. 算法与程序的基本概念

算法的主要特性是，对于其设计要解决的每个具体问题实例（即每个输入），它只应使用有限的时间和空间。这是进行物理计算的必要条件，但对于实际计算来说，这还远远不够。有些问题需要大量的时间，实际上是无法计算的，这就引出了对计算所需资源（时间和空间）的研究，即计算复杂性理论。

在计算理论中，存在着与逻辑类似的二元性。有对计算的描述，即算法或程序，还有