10、数学语言中的逻辑与计算

数学语言中的逻辑与计算

1. 数学语言为何受限

数学逻辑主要研究数学语言，其分类包括连接词和量词。我们不禁会问，为何数学语言如此受限？像“也许”“可能”“肯定”“必然”这类模态词，在数学中几乎不用，因为数学陈述非真即假，不存在第三种可能。那为何只有两个真值呢？答案是两个真值足以满足需求，而一个则不够。

使用至少两个真值是显然的，只用两个并非出于经济考量，而是为了尽可能分析概念本质。就像物理学家将分子分解为原子，再将原子分解为基本粒子一样，我们也希望将现象分解为更简单的组件。对于真值，虽然不能将三个真值“分解”为两个，但可以用经典的二值逻辑描述非经典逻辑的所有论证。

“经典数学”和“经典逻辑”这两个术语，最初是为了区分新出现的数学基础趋势（如直觉主义数学）与标准方法。实际上，“经典数学”几乎涵盖了所有现代数学领域。不确定性和模糊性可以通过多种方式转化为经典逻辑。例如，对于不确定陈述，可以考虑所有可能情况；对于模糊集，可以将其视为经典集合论中的函数。

二值逻辑并非强加给新一代数学家的教条，而是最方便的思考方式。此外，经典二值逻辑在最小可能逻辑中具有唯一性，其连接词通过组合可以生成所有可能的布尔函数。相比之下，非经典逻辑很难达成共识，因为有很多种，且没有自然的选择。

数学家通常会寻找最简单的通用系统来满足特定目的。以量词为例，我们只需要一个，如“对于所有”，因为“存在”可以由它定义。如果需要以其他方式量化，可以使用数学结构，如概率空间和数字等。这种科学中的还原论趋势有很多例子，公理方法就是一个很好的体现，基于更少、更简单方程的理论通常被认为更好，因为它能更好地解释现象、更可能为真或看起来更美观。

2. 逻辑是自然语言的一部分