19、广义帕累托分布参数的新估计方法及其应用

广义帕累托分布参数的新估计方法及其应用

1 引言

极值理论（EVT）是统计学的一个分支，是用于对罕见事件风险进行建模和处理可能导致毁灭性灾难的极值的常用工具。极值建模的应用涉及气象学、水文学、材料科学、保险、金融和生存分析等领域。在某些情况下，我们更关注估计最大值或最小值，而非预测总体的中心特征。

为了分析极值，有两种方法：
- 块最大值法（Block Maxima Approach）：使用广义极值分布（GEV）来拟合每日、每月或每年的最大值序列数据。
- 超阈值峰值法（Peaks Over Threshold，POT）：选择一个特定的阈值，提取超过该阈值的峰值。当阈值增加时，超过阈值的分布收敛于广义帕累托分布（GPD）。

GPD 是一个三参数分布，具有尺度参数 β、位置参数 μ 和形状参数 k。估计过程和“最优阈值” u 的选择会严重影响推断结果。

2 广义帕累托分布参数的估计方法

2.1 超阈值峰值法

描述极端事件随机行为的条件概率为：
[P {X > u} = \frac{1 - F (u + x)}{1 - F(u)}, x > 0]
当阈值 u 足够大时，超过阈值 u 的条件过剩分布函数 (F_u(x)) 可以用广义帕累托分布 (F_{k,\beta}(x)) 近似：
[F_{k,\beta}(x) = 1 - \left(1 + \frac{kx}{\tilde{\beta}}\right)^{-\frac{1}{k}}]
其中 (\tilde{\beta} = \beta + k (u - \mu))。

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