12、图像分割、立体视觉和多视图重建的凸松弛技术

图像分割、立体视觉和多视图重建的凸松弛技术

在计算机视觉领域，传统上使用离散变量的马尔可夫随机场（MRF）来处理图像问题，但连续潜变量模型正逐渐成为解决各种计算机视觉问题的有力替代方案。本文将介绍变分方法和偏微分方程理论的最新发展，以及它们在图像分割、立体视觉重建和多视图重建中的应用。

1. 变分方法、偏微分方程与凸性

在计算机视觉中，许多问题可以通过最小化一个合适的泛函 (E(u)) 来解决。泛函 (E(u)) 最优性的必要条件由欧拉 - 拉格朗日方程给出，即 (E) 关于 (u) 的变分必须为零。

过去几十年，变分方法在计算机视觉领域取得了许多突破，如 Horn 和 Schunck 用于计算光流场的变分方法、Kass 等人和 Mumford - Shah 的图像分割方法，以及 Faugeras 和 Keriven 用于多视图三维重建的水平集公式等。然而，这些变分方法大多基于非凸泛函，其解通常只是局部极小值，且依赖于合适的初始化，实际应用价值有限。

近年来，一系列凸松弛技术的发展使得计算机视觉问题可以用凸泛函来表示。通过这些技术，可以计算出全局最优解或具有有界最优性的解，且这些解不依赖于初始化。实验表明，基于偏微分方程（PDE）的解通常比现有的图论算法需要更少的内存、更快的计算速度，并且能为底层视觉问题提供更准确的解决方案。

2. 图像分割与最小分割

2.1 经典变分方法

图像分割是变分方法最早的应用领域之一，其目标是将图像平面划分为一组有意义的区域。其中，Kass 等人的方法（基于边缘的分割方法）旨在识别由强强度梯度支持的图像边界，而 Blake 和 Zisserman 以及 Mumfor