4、具有凸和截断凸先验的多标签MRF优化

具有凸和截断凸先验的多标签MRF优化

1. 引言

大型组合优化问题通常难以精确求解，但在某些特殊情况下，我们可以使用已知方法找到全局最优解。例如，当问题状态可以用线性排序的局部状态串描述时，如隐马尔可夫模型（HMM），可以使用动态规划；对于某些二元马尔可夫随机场（MRF），也能进行精确求解。本文将介绍另一种情况，即解决具有关于线性排序标签集为凸的 $\Phi_{ij}(x_i, x_j)$ 的一阶MRF的方法。

我们要最小化以下能量函数：
[E(x) = \sum_{i\in V}\phi_i(x_i) + \sum_{(i,j)\in E}\Phi_{ij}(x_i, x_j)]
其中，$V$ 和 $E$ 分别是MRF的站点集和边集，$x_i$ 是站点 $i$ 的标签，$\phi_i(x_i)$ 是一元项，$\Phi_{ij}(x_i, x_j)$ 是二元项。

常见的凸二元项例子有绝对线性函数 $\Phi_{ij}(x_i, x_j) = w_{ij} \cdot |x_i - x_j|$ 和二次函数 $\Phi_{ij}(x_i, x_j) = w_{ij} \cdot (x_i - x_j)^2$，它们是标签绝对差 $|x_i - x_j|$ 的凸函数，且对一元项 $\phi_i(x_i)$ 没有限制。

一个函数 $f(x)$ 被称为凸函数，当满足：
[f(tx + (1 - t)y) \leq tf(x) + (1 - t)f(y) \quad (0 \leq \forall t \leq 1)]

对于单连通图，$\Phi_{ij}$ 作为 $|x_i - x_j|$ 的严格凸函数，会促使更多边上的标签