3、量子计算中的数学与算法思维基础

量子计算中的数学与算法思维基础

1. 量子计算中的线性代数

1.1 特征值与特征向量计算

在求解过程中，我们得到方程 $\frac{x_1}{8} = \frac{x_2}{6} = \frac{x_3}{4}$。由此可得特征向量 $X_1 = \begin{bmatrix} 8 \ 6 \ 4 \end{bmatrix}$，进一步简化为 $X_1 = \begin{bmatrix} 4 \ 3 \ 2 \end{bmatrix}$，对应的特征值 $\lambda_1 = 1$。同理，对于 $\lambda_2 = 2$，特征向量 $X_2 = \begin{bmatrix} 3 \ 2 \ 1 \end{bmatrix}$；对于 $\lambda_3 = 3$，特征向量 $X_3 = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$。

1.2 张量积

在量子计算中，我们常需处理多量子比特系统，如两量子比特系统 $|00\rangle$、三量子比特系统 $|000\rangle$。为处理这些复合系统，我们引入张量积的概念。

1.2.1 张量积的定义

张量积是一种组合空间、向量或算子的方式。例如，两个空间 $H_1$ 和 $H_2$，其维度分别为 $n$ 和 $m$，它们的张量积 $H_1 \otimes H_2$ 会生成一个维度为 $n \times m$ 的新空间 $H$。

1.2.2 列向量的张量积计算

定义两个量子态：$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$ 和 $