数理逻辑3 -- 形式数论5

继续上节的证明。

o. 要证$t \neq r \Rightarrow (t<r \lor r<t)$。水平不够，只能用归纳法。记$B(x)$为$t\neq x \Rightarrow (t< x \lor x<t)$。
首先，考虑$B(0)$
1. $t \neq 0$，假设
2. $0 \leq t$，命题3.7i
3. $0 < t$，由1、2和析取消除
4. $t < 0 \lor 0 < t$，由3和析取引入
所以$B(0)$成立

后，假设$B(x)$成立。
1. $t\neq x \Rightarrow (t< x \lor x<t)$，归纳假设
2. $t \neq x'$，假设
3. $t \neq x$，假设
4. $t<x \lor x<t$，由1、3和MP
5. $t<x$，假设
6. $t<x' \lor x'<t$，由5、命题3.7m、b（$t<x'$），再加上析取引入
7. $B(x), t\neq x, t \neq x', t<x \vdash t<x' \lor x'<t$，由1-5
8. $t \nless x$，假设
9. $x<t$，由8、4和析取消除
10. $x' \leq t$，由9和命题3.7k
11. $x' < t$，由10、2和析取消除
12. $B(x), t\neq x, t \neq x', t \nless x \vdash t<x' \lor x'<t$，由11、8、1
13. $B(x), t \neq x, t \neq x' \vdash t<x' \lor x'<t$，由7、12和命题1.21
14. $t = x$，假设
15. $t< x'$，由14和$x<x'$
16. $B(x), t=x, t \neq x' \vdash t<x' \lor x'<t$，由15和析取引入
17. $B(x) , t \neq x' \vdash t<x' \lor x'<t$，由13、16和命题1.21
18. $B(x) \vdash B(x')$，由17和演绎定理
证毕

p. 要证$t=r \lor t<r \lor t>r$。利用o的结果，注意下$\lor$的顺序，不难证明。

q. 要证$t \leq r \lor r \leq t$。只需证$\neg (t \leq r) \vdash r \leq t$，利用p，简单可证。

r. 要证$t+r \geq t$。用归纳法，记$B(x)$为$t+x \geq t$。$B(0)$为$t+0 \geq t$，由命题3.7e可知其成立。
假设$B(x)$成立，
1. $t+x \geq t$，归纳假设
2. $(t+x)' > t$，由1和命题3.7l
3. $t+x' > t$，由2和S6
所以$B(x')$成立，证毕

s. 要证$r\neq 0 \Rightarrow t+r > t$。
1. $t+r > t \lor t+r=t$，由命题3.7r可知
2. $r \neq 0$，假设
3. $\neg (t+r >t)$，假设
4. $t +r = t$，由1、3和析取消除
5. $t + 0 =t$，由S5
6. $t+r = t+0$，由4、5、S1和命题3.2b
7. $r = 0$，由6、命题3.4d减法律
8. $\neg (t+r>t) \vdash r \neq 0 \land r =0$，由2、3、7和合取引入
9. $t+r>t$，由8和反证法规则
证毕

t. 要证$r \neq 0 \Rightarrow t \cdot r \geq t$
1. $r \neq 0$，假设
2. $r = b'$，由1、命题3.5h、规则C
3. $t \cdot r = t \cdot b'$，由2、命题3.2o
4. $t \cdot b' = t \cdot b + t$，由3、命题3.4a乘法分配律、命题3.5b
5. $0 \leq t \cdot b$，命题3.7i
6. $t \leq t \cdot b + t$，由5、命题3.7g，再加上加法交换律
7. $t \cdot b' \get t$，由6、4和A7代入法则
8. $t \cdot r \geq r$，由2、7和A7代入法则
证毕

u. 要证$r \neq 0 \Leftrightarrow r>0$。从左往右，利用命题3.7s，$t$取0即可。从右往左，用归纳法，记$B(x)$为$x>0 \Rightarrow x\neq 0$。考虑$B(0)$，由命题3.7a和A1，可得$0 = 0 \Rightarrow \neg (0 > 0)$，所以$0>0 \Rightarrow 0\neq 0$，即$B(0)$成立。假设$B(x)$成立，由S3和A1可得$x' > 0 \Rightarrow x' \neq 0$，所以$B(x')$成立。证毕。

v. 要证$r > 0 \Rightarrow (t > 0 \Rightarrow r\cdot t> 0)$。利用命题3.7u和命题3.5e：$t\neq 0 \Rightarrow (s \cdot t = 0 \Rightarrow s = 0)$。
1. $r>0$，假设
2. $t >0$，假设
3. $t \neq 0$，由2和命题3.7u
4. $r \cdot t = 0 \Rightarrow r = 0$，由3和命题3.5e
5. $r \neq 0 \Rightarrow r \cdot t \neq 0$，由4和逆否规则
6. $r \cdot t \neq 0$，由1、5和MP
7. $r \cdot t > 0$，由6和命题3.7u
证毕

w. 要证$r \neq 0 \Rightarrow (t > 1 \Rightarrow t \cdot r > r)$。这里的1就是$\bar{1}$，后面都简写了。
1. $r \neq 0$，假设
2. $t > 1$，假设
3. $b\neq 0, b+1=t$，由2、规则C和合取消除
4. $b>0$，由3和命题3.7u
5. $(b+1) \cdot r = b\cdot r + r$，由命题3.4b（乘法分配律）、命题3.5b
6. $t \cdot r = b \cdot r + r$，由3、5和A7代入规则
7. $r > 0$，由1和命题3.7u
8. $b \cdot r > 0$，由4、7、命题3.7v
9. $b \cdot r + r > r$，由8、命题3.7d
10. $t \cdot r > r$，由6、9、A7代入法则
证毕

x. $r \neq 0 \Rightarrow (t < s \Leftrightarrow t \cdot r < s \cdot r)$。好麻烦，用归纳法，记$B(x)$为$x\neq 0 \Rightarrow (t<s \Leftrightarrow t\cdot x < s \cdot x)$。$B(0)$显然成立。假设$B(x)$成立，
1. $x\neq 0 \Rightarrow (t<s \Leftrightarrow t\cdot x < s \cdot x)$，归纳假设$B(x)$
2. $x \neq 0$，假设
3. $t < s \Leftrightarrow t \cdot x < s \cdot x$，由1、2和MP
4. $x' \neq 0$，假设，这里无所谓
5. $t < s$，假设
6. $t \cdot x < s \cdot x$，由3、5和MP
7. $t \cdot x + t < s \cdot x + t$，由6、命题3.7d
8. $t \cdot x + t < s \cdot x + s$，由7、5和命题3.7b
9. $t \cdot x' < s \cdot x'$，由8、命题3.5a、b，和A7代入法则
10. $B(x), x \neq 0, x' \neq 0 \vdash t<s \Rightarrow t \cdot x' < s \cdot x'$，由1-9和演绎定理
11. $t \cdot x' < s \cdot x'$，假设
12. $t \cdot x + t < s \cdot x + s$，由11、命题3.5a、b和A7代入法则
13. $\neg (t<s)$，假设
14. $t \geq s$，由13、命题3.7p、析取消除
15. $\neg (t\cdot x < s \cdot x)$，由13、3
16. $t \cdot x \geq s \cdot x$，由15、命题3.7p、析取消除
17. $t \cdot x + t \geq s \cdot x +t$，由16、命题3.7g
18. $s \cdot x + t \geq s \cdot x + s$，由14、命题3.7g
19. $t \cdot x + t \geq s \cdot x + s$，由17、18、命题3.7f
20. $t \cdot x' \geq s \cdot x'$，由19、命题3.5a、b，和A7代入法则
21. $\neg (t\cdot x' < s \cdot x')$，由20推出，不是那么显然，这里不展开写了，利用$t \geq r \Rightarrow \neg(t < r)$
22. $t < s$，由11、21、反证法法则
23. $B(x), x \neq 0, x' \neq 0 \vdash t \cdot x' < s \cdot x' \Rightarrow t<s$，由22
24. $B(x), x \neq 0, x' \neq 0 \vdash t< s \Leftrightarrow t \cdot x' < s \cdot x'$，由23、10
25. $x =0$，假设
26. $t \cdot x' = t, s \cdot x' =s$，由25可得$x'$就是$0'$，再根据命题3.5b
27. $t < s \Leftrightarrow t \cdot x' < s \cdot x'$，由26和$t<s \Leftrightarrow t<s$，再应用两次A7代入法则
28. $B(x), x= 0, x' \neq 0 \vdash t < s \Leftrightarrow t \cdot x' < s \cdot x'$
29. $B(x), x' \neq 0 \vdash t < s \Leftrightarrow t \cdot x' < s \cdot x'$，由28、24和命题1.21
30. $B(x) \vdash B(x')$，由29和演绎定理
证毕

y. 借助x的结论，捣鼓几下即可，不难。

z. 要证$t \nless 0$，这个很容易。
1. $t \geq 0$，命题3.7i
2. $t > 0 \lor t =0$，这是1的展开写法
3. $t > 0$，假设
4. $t \nless 0$，由3、命题3.7c和MP
5. $t>0 \vdash t \nless 0$，有1-4
6. $\neg (t>0)$，假设
7. $t = 0$，由2、6和析取消除
8. $\neg (0 < 0)$，命题3.7a
9. $\neg (t <０)$，由７、8和A7代入法则
10. $\neg (t>0) \vdash t \nless 0$，由7-9
11. $t \nless 0$，由5、10，命题1.21
证毕

z’. 要证$t \leq r \land r \leq t \Rightarrow t = r$
1. $t \leq r, r \leq t$，假设、合取消除
2. $t <ｒ\lor t=r, r<t \lor r=t$
3. $t \neq r$，假设
4. $t<r, r<t$，由2、3和析取消除
5. $r \nless t$，由4和命题3.7c
6. $t \neq r \vdash r \nless t \land r <t$，由3、4、5和合取引入
7. $t = r$，由6和反证法规则
证毕

这些个命题真的是“又长又臭”，但不证又不行，知识不牢固。

命题3.8
a. 对任意自然数$k$，都有$\vdash x=0 \lor x=\bar{1} \lor ... \lor x=\bar{k} \Leftrightarrow x \leq \bar{k}$
a’. 对任意自然数$k$和任意好式子$B$，都有$\vdash B(0) \land B(\bar{1}) \land ... \land B(\bar{k}) \Leftrightarrow (\forall x)(x \leq \bar{k} \Rightarrow B(x))$
b. 对任意自然数$k>0$，都有$\vdash x=0 \lor ... \lor x=\overline{k-1} \Leftrightarrow x<\bar{k}$
b’. 对任意自然数$k>0$和任意好式子$B$，都有$\vdash B(0) \land B(\bar{1}) \land ... \land B(\bar{k-1}) \Leftrightarrow (\forall x)(x<k \Rightarrow B(x))$
c. $\vdash \Big( (\forall x)(x<y \Rightarrow B(x)) \land (\forall x)(x \geq y \Rightarrow D(x)) \Big) \Rightarrow (\forall x)\Big(B(x) \Rightarrow D(x) \Big)$

证明：从现在开始，证明写简单点了，前面用到的一大堆规则，直接使用而不再赘述。
a. 我们采用基于自然数$k$的归纳法。$k=0$时，显然有$x=0 \Rightarrow x \leq \bar{0}$。假设命题对$k$成立，即$x=0 \lor ... \lor x=\bar{k} \Leftrightarrow x \leq \bar{k}$，考虑$k+1$的情况。

1) 先证从左往右。若$x = \overline{k+1}$，则易得$x=0 \lor ... \lor x = \overline{k+1} \Rightarrow x \leq \overline{k+1}$。若$x \neq \overline{k+1}$，则根据析取消除可得$x=0 \lor ... \lor x=\bar{k}$，再根据归纳假设可得$x=0 \lor ... \lor x=\bar{k} \Rightarrow x \leq \bar{k}$，再根据命题3.7$t <t'$可得$x=0 \lor ... \lor x=\bar{k} \Rightarrow x \leq \overline{k+1}$。所以无论如何都有，$x=0 \lor ... \lor x = \bar{k} \lor x = \overline{k+1} \Rightarrow x \leq \overline{k+1}$

2) 再从右往左。根据命题3.7l可得$x \leq \overline{k+1} \Rightarrow x \leq \bar{k}$，而根据归纳假设可知$x \leq \bar{k} \Leftrightarrow x=1 \lor ... \lor x=\bar{k}$，所以$x \leq \overline{k+1} \Rightarrow x=1 \lor ... \lor x=\bar{k} \lor x = \overline{k+1}$。
证毕

a’. 1) 从右到左直接证。根据A4，若$(\forall x)(x \leq \bar{k} \Rightarrow B(x))$，则可得$k+1$个好式子，其中第$i$个好式子是$d_i \leq \bar{k} \Rightarrow B(d_i)$，这里的$d_i$是$\bar{i-1}$。考虑第$i$个好式子，根据命题3.7n、e、h，可得$d_i \leq \bar{k}$成立，所以$B(d_i)$成立。所以根据合取引入，可得$B(0) \land B(\bar{1}) \land ... \land B(\bar{k})$。这就证明了$(\forall x)(x \leq \bar{k} \Rightarrow B(0) \land ... \land B(\bar{k}))$。

2) 从左往右用基于自然数$k$的归纳法，只需证明$B(0) \land ... B(\bar{k}) \Rightarrow (x \leq \bar{k} \Rightarrow B(x))$，再应用Gen规则即可。当$k=0$时，根据A7代入规则，可得$B(0), x=0 \vdash B(x)$，所以$B(0) \Rightarrow (x \leq 0 \Rightarrow B(x))$（这里应用下命题3.7的$x \geq 0$，把$x <0$排除掉）。假设命题对$k$成立，即$B(0) \land ... \land B(\bar{k}) \Rightarrow (x \leq \bar{k} \Rightarrow B(x))$，考虑$k+1$的情况。若$B(0) \land ... \land B(\bar{k}) \land B(\overline{k+1})$，则根据合取消除，可得$B(0) \land ... \land B(\bar{k})$和$B(\overline{k+1})$。接着，若$x \leq \overline{k+1}$，则$x < \overline{k+1} \lor x = \overline{k+1}$。因为$x < \overline{k+1} \Rightarrow x \leq \bar{k}$，所以结合归纳假设可得$B(0) \land ... \land B(\bar{k}), x \leq \bar{k} \vdash B(x)$。另一方面，若$x = \overline{k+1}$，采取同样的技巧可得$B(\overline{k+1}), x=\overline{k+1} \vdash B(x)$。所以，无论如何都有$B(0) \land ... \land B(\overline{k+1}) \vdash x \leq \overline{k+1} \Rightarrow B(x)$。
证毕

b. 采用基于自然数$k$的归纳法。当$k=1$时，根据命题3.7，不难得出$x = 0 \Leftrightarrow x < \bar{1}$。假设命题对$k$成立，考虑$k+1$的情况。因为$x < \overline{k+1} \Leftrightarrow x \leq \bar{k}$，所以若$x < \bar{k}$，根据归纳假设可得$x=0 \lor ... \lor x = \overline{k-1}$ 。所以$x=0 \lor ... \lor x=\overline{k-1} \lor x=\bar{k} \Leftrightarrow x \leq \bar{k}$，也即$x=0 \lor ... \lor x=\overline{k-1} \lor x=\bar{k} \Leftrightarrow x < \overline{k+1}$。
证毕

b’ 采用同a’相似的技巧即可。

c. 根据A4可得$x < y \Rightarrow B(x)$和$x \geq y \Rightarrow D(x)$，所以$\neg B(x) \Rightarrow x \nless y$。又根据命题3.7o不难得出$x \nless y \Rightarrow x \geq y$，所以$\neg B(x) \Rightarrow D(x)$，即$B(x) \lor D(x)$，最后再用一次Gen规则即可。
证毕。

接下来还可以再证两个常用的自然数“法则”。

命题3.9：
a. (完全归纳法) $\vdash (\forall x)\Big( (\forall z)( z< x \Rightarrow B(z)) \Rightarrow B(x) \Big) \Rightarrow (\forall x)B(x)$。
b. (最小整数法则) $\vdash (\exists x) B(x) \Rightarrow (\exists y) \Big( B(y) \land (\forall z)(z<y \Rightarrow \neg B(z)) \Big)$。

证明：
a. 这意思是说如果一个性质对小于x的自然数成立时，能得出对x也成立，那么它对所有自然数都成立。我们构造一个好式子$D(x)$，它是$(\forall z)(z \leq x \Rightarrow B(z))$。我们的目标是证明$(\forall x)\Big( (\forall z)( z< x \Rightarrow B(z)) \Rightarrow B(x) \Big) \vdash (\forall x)D(x)$，然后应用两次A4得出$x \leq x \Rightarrow B(x)$，因为$x \leq x$是定理，所以可得出$B(x)$，再应用一次Gen即可。（注：这个证明过程中的演绎定理可适用。）

我们采用归纳法证明$(\forall x)\Big( (\forall z)( z< x \Rightarrow B(z)) \Rightarrow B(x) \Big) \vdash (\forall x)D(x)$。

1) 考虑$D(0)$，即$(\forall z)(z \leq 0 \Rightarrow B(z))$
1. $(\forall x)\Big( (\forall z)( z< x \Rightarrow B(z)) \Rightarrow B(x) \Big)$，假设
2. $(\forall z)( z< 0 \Rightarrow B(z)) \Rightarrow B(0)$，由1和A4，“取x为0”
3. $z \nless < 0$，命题3.7
4. $(\forall z)(z < 0 \Rightarrow B(z))$，由3、A1、逆否规则和Gen
5. $B(0)$，由2、4和MP
6. $D(0)$，由5和命题3.8a’

2) 假设$D(x)$成立，考虑$D(x')$。
1. $(\forall x)\Big( (\forall z)( z< x \Rightarrow B(z)) \Rightarrow B(x) \Big)$，假设
2. $(\forall z)( z< x' \Rightarrow B(z)) \Rightarrow B(x')$，由1和A4，“取x为x’ ”
3. $(\forall z)( z \leq x \Rightarrow B(z))$，归纳假设
4. $B(x')$
5. $z = x' \Rightarrow B(z)$，由4和A7代入规则
6. $z <x \Rightarrow B(z)$，由3、A4和命题3.7 （$t \leq r \Leftrightarrow t < r'$）
7. $z \leq x' \Rightarrow B(z)$，由5、6
8. $D(x')$，由7和Gen
证毕

b. 采用“反证法”
1. $\neg (\exists y) \Big( B(y) \land (\forall z)(z<y \Rightarrow \neg B(z)) \Big)$，假设
2. $(\forall y) \neg \Big( B(y) \land (\forall z)(z<y \Rightarrow \neg B(z)) \Big)$，由1和“双否定规则”
3. $(\forall y) \Big( (\forall z)(z < y \Rightarrow \neg B(z)) \Rightarrow \neg B(y) \Big)$，在2中，把$\neg$放进括号，然后把$\lor$展开
4. $(\forall y) \neg B(y)$，由3和命题3.9a（完全归纳法）
5. $(\forall x) \neg B(x)$，由4和“变量替换”规则
6. $\neg (\exists x) B(x)$，由5和“双否定”规则
7. $(\exists x)B(x)$，假设
最后一步采用反证法规则即可
证毕