数理逻辑4 -- 公理化集合论3

于 2018-01-27 17:01:22 发布
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文章标签： 数学 数理逻辑 人工智能 集合论
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根据Axioms of Class Existence中的B2 - B4，
(B2):  (∀X)(∀Y)(∃Z)(∀u)(u∈Z⇔u∈X∧u∈Y)
(B3):  (∀X)(∃Z)(∀u)(u∈Z⇔u∉X)
(B4):  (∀X)(∃Z)(∀u)(u∈Z⇔(∃v)(<u,v>∈X))

不难证明，它们中 Z 的存在是唯一的。
引理4.3.1：
a. ⊢(∀X)(∀Y)(∃1Z)(∀u)(u∈Z⇔u∈X∧u∈Y)
b. ⊢(∀X)(∃1Z)(∀u)(u∈Z⇔u∉X)
c. ⊢(∀X)(∃1Z)(∀u)(u∈Z⇔(∃v)(<u,v>∈X))
证明：B2-B4提供了存在性，唯一性的证明利用引理4.1.2扩展原则即可。证毕。

因此，这三个式子的唯一性使我们可以引入三个新的函数符号： ∩ ， ¯ ， D 。
定义4.3.1：
a. (∀u)(u∈X∩Y⇔u∈X∧u∈Y) ， X,Y 的交集
b. (∀u)(u∈X¯⇔u∉X) ， X 的补集
c. (∀u)(u∈D⇔(∃v)(<u,v>∈X))， X 的域（Domain）
d. X∪Y=X¯∩Y¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
e. V=∅¯
f. X−Y=X∩Y¯

接下来教材给了一大堆习题，在这里都作为引理。
引理4.3.2：
a. ⊢(∀u)(u∈X∪Y⇔u∈X∨u∈Y)
b. ⊢(∀u)(u∈V)
c. ⊢(∀u)(u∈X−Y⇔u∈X∧u∉Y)
证明：现在开始，为了简洁起便，证明写得越来越像平时语言了，但每一步都可以严格追溯回一阶逻辑的证明方法。
a.
1. u∈X∪Y⇔u∈X¯∩Y¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ，由4.3.1d
2. u∈X∪Y⇔u∉X¯∩Y¯ ，由1和4.3.1b
3. u∈X∪Y⇔¬(u∈X¯∧u∈Y¯) ，由2和4.3.1a
4. u∈X∪Y⇔u∉X¯∨u∉Y¯ ，由3和合取析取规则
5. u∈X∪Y⇔u∈X∨u∈Y ，由4和4.3.1b
证毕。

b. 由引理4.2.3b可知，任何集合都不是空集的成员，即 (∀u)(u∉∅) 。所以，再根据4.3.1b即可。证毕。

c.
1. u∈X−Y⇔X∩Y¯ ，由4.3.1f
2. X∩Y¯⇔u∈X∧u∈Y¯ ，由4.3.1a
3. u∈X−Y⇔u∈X∧u∈Y¯ ，由1、2
证毕。

引理4.3.3：
a. ⊢(∀X)(∃Z)(∀u)(∀v)(<u,v>∈Z⇔<v,u>∈X)
b. ⊢(∀X)(∃Z)(∀u)(∀v)(∀w)(<u,v,w>∈Z⇔<u,w>∈X)
c. ⊢(∀X)(∃Z)(∀v)(∀x1)...(∀xn)(<x1,...,xn,v>∈Z⇔<x1,...,xn>∈X)
d. ⊢(∀X)(∃Z)(∀v1)...(∀vm)(∀x1)...(∀xn)(<x1,...,xn,v1,...,vm>∈Z⇔<x1,...,xn>∈X)
e. ⊢(∀X)(∃Z)(∀v1)...(∀vm)(∀x1)...(∀xn)(<x1,...,xn−1,v1,...,vm,xn>∈Z⇔<x1,...,xn>∈X)
f. ⊢(∀X)(∃Z)(∀x)(∀v1)...(∀vm)(<v1,...,vm,x>∈Z⇔x∈X)
g. ⊢(∀X)(∃Z)(∀x1)...(∀xn)(<x1,...,xn>∈Z⇔(∃y)(<x1,...,xn,y>∈X))
h. ⊢(∀X)(∃Z)(∀u)(∀v)(∀w)(<u,v,w>∈Z⇔<u,w>∈X)
i. ⊢(∀X)(∃Z)(∀v1)...(∀vk)(∀u)(∀w)(<v1,...,vk,u,w>∈Z⇔<u,w>∈X)

证明：
a.
1. <u,v,c1>∈b3⇔<u,v>∈b4 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153047"> \in b_3 \Leftrightarrow \in b_4</script>，由B4，应用规则C和A4
2. <v,u>∈X⇔<v,u,c1>∈b1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153048"> \in X \Leftrightarrow \in b_1</script>，由B5，应用规则C和A4
3. <v,u,c1>∈b1⇔<v,c1,u>∈b2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153049"> \in b_1 \Leftrightarrow \in b_2</script>，由B7，应用规则C和A4
4. <v,c1,u>∈b2⇔<u,v,c1>∈b3 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153050"> \in b_2 \Leftrightarrow \in b_3</script>，由B6，应用规则C和A4
5. <v,u>∈X⇔<u,v>∈b4 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153051"> \in X \Leftrightarrow \in b_4</script>，由1-4
最后步步应用A1、Gen、规则E4、Gen即可。证毕。

b. 由B5可知 <u,w>∈X⇔<u,w,v>∈b1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153052"> \in X \Leftrightarrow \in b_1</script>。又由B7可知 <u,w,v>∈b1⇔<u,v,w>∈b2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153053"> \in b_1 \Leftrightarrow \in b_2</script>。所以， <u,w>∈X⇔<u,v,w>∈b2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153054"> \in X \Leftrightarrow \in b_2</script>，再应用E4把 b2 换成 Z 即可。证毕。

c. 直接应用B5，u取成 <X1,...,Xn> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153058"> </script>，再依次对 X1,...Xn 应用A1和Gen，换成 x1,...,xn 即可。证毕。

d. 由c可知， <x1,...,xn>∈X⇔<x1,...,xn,v1>∈b1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153061"> \in X \Leftrightarrow \in b_1</script>。再接着应用c，可知 <x1,...,xn,v1>∈b1⇔<x1,...,xn,v1,v2>∈b2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153062"> \in b_1 \Leftrightarrow \in b_2</script>。所以，如此连续应用c的结果，可得 <x1,...xn>∈X⇔<x1,...,xn,v1,...,vm>∈bm <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153063"> \in X \Leftrightarrow \in b_m</script>，再应用规则E4把 bm 替换成 Z 即可。证毕。

e. 当m=1时，应用b的结果，把 u 换成<x1,...,xn−1>，可得 <x1,...,xn>∈X⇔<x1,...,xn−1,v1,xn>∈b1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153069"> \in X \Leftrightarrow \in b_1</script>。然后继续应用b的结果，可得 <x1,...,xn−1,v1,xn>∈b1⇔<x1,...,xn−1,v1,v2,xn> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153070"> \in b_1 \Leftrightarrow </script>。所以，如此连续，可得 <x1,...,xn>∈X⇔<x1,...,xn−1,v1,...,vm,xn>∈bm <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153071"> \in X \Leftrightarrow \in b_m</script>。证毕。

f. 由B5可知， x∈X⇔<x,v1>∈b1 ，然后应用a的结论，可得 <x,v1>∈b1⇔<v1,x>∈c1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153073"> \in b_1 \Leftrightarrow \in c_1</script>。接着如此应用可得， <v1,x>∈c1⇔<v1,x,v2>∈b2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153074"> \in c_1 \Leftrightarrow \in b_2</script>，再用B7可得 <v1,x,v2>∈b2⇔<v1,v2,x>∈c2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153075"> \in b_2 \Leftrightarrow \in c_2</script>。如此反复，最后可得 x∈X⇔<v1,...,vm,x>∈cm 。证毕。

g. 应用B4，把 u 换成<x1,...,xn>，再步步应用A1和Gen即可。证毕。

h. 应用B5，可知 <u,w>∈X⇔<u,w,v>∈b1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153079"> \in X \Leftrightarrow \in b_1</script>。再应用B6，可知 <u,w,v>∈b1⇔<v,u,w>∈b2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153080"> \in b_1 \Leftrightarrow \in b_2</script>。所以， <u,w>∈X⇔<v,u,w>∈b2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153081"> \in X \Leftrightarrow \in b_2</script>。证毕。

i. 应用h的结果，把 v 替换成<v1,...,vk>即可。证毕。

接下来，我们证明一般性的“类存在性”定理。首先，我们说一个好式子 φ(X1,...,Xn,Y1,...,Ym) 是谓词好式子，意思是 φ 里面只有集合变量符号才会被量词受限。比如 (∃x1)(x1∈Y1) 就是谓词好式子，而 (∃Y1)(x1∈Y1) 就不是。

命题4.4：若 φ(X1,...,Xn,Y1,...,Ym) 是谓词好式子，那么 ⊢(∃Z)(∀x1)...(∀xn)(<x1,...,xn>∈Z⇔φ(x1,...,xn,Y1,...,Ym)) 。
证明：不失一般性的，我们只需考虑 φ 里面不包含形如 Yi∈W 的部分。因为它等价于 (∃x)(x=Yi∧Yi∈W) （证明不难，从左往右只需把 x 换成Yi，从右往左注意到 Yi∈W⇒M(Yi) 即可），然后它又继续等价于 (∃x)((∀z)(z∈x⇔z∈Yi)∧x∈W) （这是为了消除”=”，NBG只含有一个谓词符号）。同样的，我们只需考虑 φ 不包含形如 X∈X 的部分，因为它等价于 (∃u)((∀z)(z∈u⇔z∈X)⇔u∈X) 。

我们用回第一章经常用的技巧，基于连接符号和量词符号个数 k 的归纳法。

(a) 当k=0时，那么 φ 只可能是形如 xi∈xj,xj∈xi,xi∈Yl 的形式，其中 1≤i<j≤n,1≤l≤m 。若是 xi≤xj ，由B1可知 <xi,xj>∈b1⇔xi∈xj <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153106"> \in b_1 \Leftrightarrow x_i \in x_j</script>，接着应用引理4.3.3i，可以把 x1,...,xi−1 “填充”到 xi 前面，即 <xi,xj>∈b1⇔<x1,...,xi−1,xi,xj>∈b2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153109"> \in b_1 \Leftrightarrow \in b_2</script>。然后，应用引理4.3.3e，把 xi+1,...,xj−1 “填充“到 xi 和 xj 中间，即 <x1,...,xi,xj>∈b2⇔<x1,...,xi,xi+1,...,xj−1,xj>∈b3 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153113"> \in b_2 \Leftrightarrow \in b_3</script>。最后再应用引理4.3.3d，把”后面补齐“，即 <x1,...,xi,...,xj>∈b3⇔<x1,...,xn>∈b4 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153114"> \in b_3 \Leftrightarrow \in b_4</script>。所以也就证明了 (∃Z)(∀x1)...(∀xn)(<x1,...,xn>∈Z⇔xi∈xj) 。

若 φ 是 xj∈xi 的形式，则根据B1可知 xj∈xi⇔<xj,xi>∈c1 。接着应用引理4.3.3a，把 xj,xi 换个位置，可得 <xj,xi>∈c1⇔<xi,xj>∈c2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153120"> \in c_1 \Leftrightarrow \in c_2</script>，然后重复上述的过程即可。

若 φ 是 xi∈Yl 的形式，应用引理4.3.3f，可得 <x1,...,xi−1,xi>∈d1⇔xi∈Yl <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153123"> \in d_1 \Leftrightarrow x_i \in Y_l</script>。然后应用引理4.3.3d，把后面补齐，即 <x1,...,xi−1,xi>∈d1⇔<x1,...,xn>∈d2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153124"> \in d_1 \Leftrightarrow \in d_2</script>。这就完成了 k=0 时的证明。

(b) 假设命题对 k<r 时成立，考虑 r 的情况，即φ包含 r 个连接符号和量词符号。
(b.1) φ是 ¬ψ 的形式。由归纳假设可知， <x1,...,xn>∈b1⇔ψ(x1,...,xn,Y1,...,Ym) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153132"> \in b_1 \Leftrightarrow \psi(x_1,...,x_n, Y_1,...,Y_m)</script>。这时，取 b1 的”否“，即考虑 <x1,...,xn>∈b1¯ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153134"> \in \bar{b_1}</script>。注意， b1¯ 是一个项，同样可以其应用规则E4。根据定义4.3.1b，可知 <x1,...,xn>∈b1¯⇔<x1,...,xn>∉b1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153136"> \in \bar{b_1} \Leftrightarrow \notin b_1</script>，所以 <x1,...,xn>∈b1¯⇔¬ψ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153137"> \in \bar{b_1} \Leftrightarrow \neg \psi</script>，即 <x1,...,xn>∈b1¯⇔φ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153138"> \in \bar{b_1} \Leftrightarrow \varphi</script>。

(b.2) φ 是 ψ⇒ϕ 的形式，它等价于 ¬ψ∨ϕ 。根据归纳假设，可得 <x1,...,xn>∈c1⇔ψ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153142"> \in c_1 \Leftrightarrow \psi</script>，以及 <x1,...,xn>∈c2⇔ϕ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153143"> \in c_2 \Leftrightarrow \phi</script>。因此，取 c 为c1∩c2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯，可得 <x1,...,xn>∈c⇔<x1,...,xn>∈c1∩c2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153146"> \in c \Leftrightarrow \in \overline{c_1 \cap \bar{c_2}}</script>，即 <x1,...,xn>∉c1∩barc2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153147"> \notin c_1 \cap bar{c_2}</script>，即 <x1,...,xn>∉c1∨<x1,...,xn>∈c2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153148"> \notin c_1 \lor \in c_2</script>，即 <x1,...,xn>∈¬ψ∨<x1,...,xn>∈ϕ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153149"> \in \neg \psi \lor \in \phi</script>。

(b.3) φ 是 (∀x)ψ(x1,...,xn,x,Y1,...,Ym) 的形式。根据归纳假设，可得 (∀x)(<x1,...,xn,x>∈d1⇔ψ) 。由引理4.3.3g可知， (∀x)(<x1,...,xn,x>∉d1)⇔<x1,...,xn>∉d2¯ 。所以， <x1,...,xn>∉d2¯⇔<x1,...,xn,c>∉d1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153154"> \notin \bar{d_2} \Leftrightarrow \notin d_1</script>。又因为 <x1,...,xn,c>∉d1⇔¬ψ(x1,...,xn,c,Y1,...,Ym) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153155"> \notin d_1 \Leftrightarrow \neg \psi(x_1,...,x_n, c, Y_1,...,Y_m)</script>，所以 <x1,...,xn>∉d2¯⇔¬ψ(x1,...,xn,c,Y1,...,Ym) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153156"> \notin \bar{d_2} \Leftrightarrow \neg \psi(x_1,...,x_n, c, Y_1,...,Y_m)</script>，也即 <x1,...,xn>∈d2⇔(∃x)¬ψ(x1,...,xn,x,Y1,...,Ym) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153157"> \in d_2 \Leftrightarrow (\exists x) \neg \psi(x_1,...,x_n, x, Y_1,...,Y_m)</script>。最后，再反转一次，可得 <x1,...,xn>∉d2⇔¬(∃x)¬ψ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153158"> \notin d_2 \Leftrightarrow \neg (\exists x) \neg \psi</script>，也即得到 <x1,...,xn>∈d2¯⇔φ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-153159"> \in \bar{d_2} \Leftrightarrow \varphi</script>。
证毕。

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